Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
атоме, что у него меньше энергии, чем нужно для второго снизу
энергетического уровня, то мы знаем его энергию с абсолютной точностью:
это энергия низшего уровня.
Но такое деление на "квантованные" и "неквантованные" величины
соответствует, как мы видели при анализе матричной теории (ср. I. 2 и II.
6), делению на величины 91 с оператором R, обладающим чисто дискретным
спектром, и такие, для которых это не имеет места. И как раз для величин
первого рода, и только для них, мы нашли возможность абсолютно точного
наблюдения, тогда как величины второго рода можно наблюдать лишь со сколь
угодно хорошей (но никогда не абсолютной) точностью126).
126) Во всех таких случаях мы делаем предположение, что структура
наблюдаемой системы и измерительной аппаратуры (т. е. все действующие
3]
ОДНОВРЕМЕННАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ И ИЗМЕРИМОСТЬ ВООБЩЕ
167
(Отметим кстати, что упомянутое во введении, равно как и в I. 3,
привлечение "несобственных" или не принадлежащих гильбертову пространству
собственных функций, - ср. также II. 8, в особенности прим. 84), 86) на
стр. 98 и 101, - как раз здесь передает действительность хуже, чем наш
метод, вводя нас в заблуждение о существовании таких состояний, в которых
величины с непрерывными спектрами принимают в точности определенные
значения, хотя как раз этого никогда не бывает. Хотя такие идеализации и
предлагались многократно, мы считаем, что их надо отклонить и по этой
причине, не говоря уже об их математической несостоятельности.)
Тем самым мы достигли некоторой, пока достаточной, ясности в вопросе о
процессах, происходящих при измерении одной величины, и мы можем
обратиться к одновременному измерению нескольких величин.
Пусть сперва 91 и 0 будут две величины с операторами R, S соответственно.
Примем, что они одновременно измеримы. Что отсюда следует?
Будем сначала требовать абсолютно точной измеримости, так что оба
оператора R и 5 должны будут обладать чисто дискретными спектрами: Хр Х2,
... и рр р2, ... Пусть соответствующие полные ортонормированные системы
состоят из собственных функций срр ср2> и фр ф2,
Чтобы начать обсуждение с простейшего случая, мы предположим сперва, что
у одного из этих операторов, скажем у R, есть только простые собственные
значения, т. е. Хт =? Х" для тфп.
Если 91 и (r) измеряются одновременно, то после этого возникает состояние,
в котором как 91, так и 0 наверняка имеют только что измеренные значения,
скажем X- и р.-, а состояние ф, которое тогда возникает, должно
удовлетворять уравнениям /?ф = Х- ф, 5ф==р-ф. Из первого из них следует,
что ф = ср- (с точностью до численного множителя, которым можно
пренебрегать), тогда как из второго - что ф==2а,']; • если Pvi • •
• •• представляют собой все р", рав-
v v 12
ные р-. Если начальным состоянием было ср, то X-, ср- имеет
силовые поля и т. д.) известна точно и ищется лишь состояние, т. е.
мгновенные значения координат. Если это (идеализированное) предположение
окажется неверным, то, конечно, появятся дополнительные источники
неточности.
Даже и в нашем методе описания неточного измерения содержалась некоторая
идеализация. Мы предположили, что оно состоит в Том, что мы с абсолютной
достоверностью решаем, принадлежит рассматриваемое значение интервалу / =
{X', X"}, X' < X" или нет. На самом деле границы X', X" размыты, т. е.
необходимое решение происходит лишь с определенной вероятностью. Тем не
менее наш метод описания представляется математически наиболее удобным,
во всяком случае в настоящее время.
168
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
(ГЛ. III
вероятность | (ср, ср-)|2. Для ср = срт будет поэтому наверняка т = т,
так что для каждого т. можно сказать, что <рш равно сумме 2
V V
с равными р, . т. е. Stpm = ptpm (где р = ^ ^ = ...). Следова-
тельно, для / = срш будет выполняться RSf = SRf (обе части соотношения
равны Хшрсрш). Так что это равенство справедливо также и для их линейных
комбинаций и, если R н S непрерывны, то и для предельных точек этих
комбинаций, т. е. для всех /. Следовательно, R и 5 коммутируют.
Если R и 5 не непрерывны, то рассуждать надо следующим образом.
Разложения единицы Е(к), ^(р), принадлежащие операторам R и S,
определяются соотношениями
е(ь)= 2 Р\9т\' ^7(р)== 2 ^[Фл] •
ml ni
Следовательно, F (р) <рш == срш или =0 в зависимости от того, pig
или < введенного выше р. Далее, ?'(Х)срш = <рш или = 0 в зависимости от
того, Х^ или < \т. Поэтому в любом случае Е(к) F(р) Тт= = F (р) Е(X) срт
для всех срт. Отсюда, как и выше, следует коммутативность Е(к), ^(р) и,
значит (согласно II. 10), коммутативность R и S.
Но, согласно II. 10, существует полная ортонормированная система
собственных функций, общих для R и S, т. е. можно принять, что Фт = фт.
Так как Хш =? Х" для тфп, то можно построить функцию F (К), для которой
I Ни Х = Х", я=1, 2.......
F W - I 1
( произвольна при других значениях X,
и тогда S = F(R), т. е. (r) = /7(91). Это значит, что 91 и @ не только
измеримы одновременно, но каждое измерение 91 является также измерением
