Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
ределенность т}= : е в значение q.
Естественно, что при таком очень качественном рассмотрении нельзя
надеяться точно передать все детали:
вместо соотношения щ = - мы сможем показать только, что
ет]~h (т. е. etj равно h по порядку величины) в случае по возможности
наиболее точного измерения. В качестве типичного примера мы рассмотрим
сопряженную пару: положение (координата) - импульс частицы Т 133).
Исследуем сначала определение положения. Определить положение частицы Т
можно, наблюдая ее, т. е. если она освещается и рассеянный ею свет
поглощается в глазу. Итак (рис. 1), квант света L испускается источником
света I в направлении частицы Т, при столкновении с Т отклоняется от
прямолинейного >пути в направлении (3(32 и в конце своего пути гибнет,
поглощаясь экраном Sch
132) Фундаментальный смысл этого обстоятельства был подчеркнут Бором (см.
ссылку в прим. ш)). Однако метод описания, которому мы следуем ниже, не
является совершенно классическим в одном отношении: мы будем
предполагать, что существуют световые кванты или, иными словами, что свет
частоты ч никогда не проявляет себя с количеством энергии меньшим, чем
кч.
133) Нижеследующим обсуждением мы обязаны Гайзенбергу и Бору, см. ссылки
в прим. 131) на стр. 174.
4] СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 179
(представляющим собой глаз или фотографическую пластинку). Измерение
состоит в констатации того, что L встречает экран не в точке 1 (в конце
неотклоненного пути ppj), а в точке 2 (в конце рр2). Но для того чтобы
отсюда сделать вывод о месте столкновения (т. е. о месте нахождения
частицы Т), надо знать и направления р и (т. е. направление движения
кванта света L до и после столкновения): этого можно достичь, добавляя
систему диафрагм 55 и s's'. (При этом мы, собственно, не измеряем
координату частицы Т, но лишь судим, имеет ли эта координата определенное
- соответствующее точке пересечения направлений р и р2, которую можно
выбрать по желанию, установив соответствующим образом щели, - значение
или нет. Только суперпозиция многих таких рассуждений, т. е. установка
многих щелей s's', эквивалентна измерению.) Как же обстоит дело с
точностью такого измерения положения?
Его точность принципиальным образом ограничена законами образования
оптического изображения. Действительно, с помощью света с длиной волны X
невозможно резко отобразить объекты меньшие, чем X, или же хотя бы
подавить дифракцию до такой степени, чтобы можно было говорить об одном
(искаженном) изображении. Конечно, мы не требуем оптического изображения,
так как для определения положения Т достаточно простого факта отклонения
L. Однако щели 55 и s's' нельзя делать уже, чем X, так как иначе L не
сможет легко преодолеть их без искажений и возникнет целая куча
интерференционных полос, так что по направлениям линий, соединяющих
последовательные щели 55 и s's', уже ничего нельзя будет заключить о
направлениях световых лучей и р2. Отсюда следует, что с помощью такой
бомбардирующей частицы L невозможно прицелиться и попасть с точностью
большей, чем X.
Итак, длина волны X это в то же время и мера ошибки при измерении
координаты: Х~е. Дальнейшими характеристиками светового кванта L являются
его частота v, его энергия Е, его импульс р\ между ними существуют хорошо
известные соотношения
v=' Ё=/п = -%-. р = 1 = ^ = ±
К х г с с X
(с - скорость света)134). Следовательно, р - - . В точно не известном
процессе столкновения между L и Т происходит некоторая передача импульса,
которая, очевидно, имеет порядок самого ~р, т. е. тот же порядок, что и -
. Отсюда для Т вытекает неопределенность h
в значении импульса.
134) Ср., например, оригинальную работу Е i n s t е i n'a, Ann. Physik
14 (1905) или любой современный учебник.
12*
180
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
Этим соотношение evj-h было бы доказано, не будь при этом просмотрена
одна деталь. Дело в том, что процесс столкновения не так уж
неопределенен. В действительности известны направления движения i до и
после (р и р2) и поэтому также его импульсы, откуда может быть найдена
передача импульса частице Т. Следовательно, р не является мерой vj.
Таковой, скорее, является возможная неопределенность в направлениях лучей
р и р2. Чтобы установить точнее связь между "прицелом" на маленький
объект Т и неопределенностью
в направлении, которая с этим связана, разумно воспользоваться
приспособлением с лучшей фокусировкой, чем щель 55, а именно
линзой. Следовательно, надо учесть результаты известной теории
микроскопа, согласно которой для освещения элемента поверхности с
линейными размерами е (т. е. для попадания в частицу Т лучом L 2 с
точностью е) необходимо, чтобы между длиной волны А и апертурой линзы
А
существовало соотношение -------------.--е
2s.n|
(рис. 2)135). Неопределенность в tt-компоненте импульса луча L связана с
тем, что его направление лежит в угле между
Т а а
рис g ---^ и -f-y, а в остальном неизвестно. Следовательно, ошибка будет
