Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 145

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 >

(S_ 1)!(5 -s_ 1)!
X nS~\,s-i ~w) - uf~2-dw =
(w (1-ie>))
_ (S-l)l(S-l) (^(l_^)_")S-2 ^
(s-1)!(S - s - 1)! wr s (1 - w)s по всем тг;>0, gi 1 с u-^w( 1-w).
Вследствие этого надо учитывать для и вообще лишь значения Мы
определим сейчас же
вероятность, что |ер>0| =? а [согласно только что сказанному
|2^а
для этого приведенное выражение надо проинтегриро-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 365
вать по всем и, w с а-^и ^w{\ - w), т. е. по - ^/~- а^
/ у- а, a-^u^w(l- w). Мы можем провести интегрирование по и:
1 1/ТГ
2 + г 4 да (1-да)
(S - 1)! (S - 1) Г Г (w(l - w) - u)s~2
1)! J J
(s-1)! (S - s-1)1 J J w$ s (\ -
*
i+yv-
du dw:
(¦S-l)! f (w(l - w) - a)s 2
(s - 1)! (5 - s - 1)! J и,5-М1-и;)5
i-V\-
2 ' Г 4 " 2
i-kj-
Разложим интеграл на две части, / " / , и вве-
i , i Г1
дем в них новые переменные с помощью y+l/f - x - w и
у -- ^/~у - x - w соответственно. В обоих случаях х - w (1 - w),
в обоих случаях х пробегает значения от а до Складывая оба интеграла,
получим (5 - 1)!
(s-1)!(S-s-1)!
4
X
xf(x-af-'[(}+/^-х) ' +
dx
v\
4 *
Наконец, введем новую переменную у = -у , которая пробегает значения от 0
до 1.
И а
366 ДОПОЛНЕНИЕ
Тогда написанное выражение будет
(1-4а)я-1 (S - 1) 1 25-1 (5 - 1)!(S - 5 - 1)1 1
X /У5-1 [(1 + (1 - уТ=Та ут=~у)~* +
о
+ (1 - ут^й /r^y)_(S_i) (1 + ут=4^уг^)',]-р^-
о 1
Разделим эту вероятность на (1-4а) ~ , тогда от а будет еще
зависеть лишь выражение Как мы покажем, оно возрастает
при а->0, а следовательно и введенная дробь. Но так как при а = 0
числитель (вероятность) = 1, а знаменатель ((1 -4a)s_1) тоже, то тем
самым доказано, что дробь всегда =?1, т. е. что вероятность
--/1 л \5- 1____ - 4а (S-1)
всегда g=(l - 4а) =?е
Если а -" 0, то У1 - 4а У \ - у, возрастая, стремится к У1 - у, поэтому
достаточно показать, что
[(1 +/)~(S-i) (1 - 0_,+ (1 - 0_(S_i)(i+0_']
при t > 0 возрастает. Действительно, его производная
(1 + ,)-<*- " (1 _ ) +
+ (1_0-"-*г(1+/)-*(^?__?_)>0,
/ 1 1 . . \ если 1мы полагаем z > И
z5 (sz - (5 - s)) + zs~ s((S - s) z - s) > 0, но это выражение, очевидно,
> zs (s - (S - s)) + zs~s((S - s)-s) = (zs~s - zs)((S-s)-s)> 0-
Тем самым приведенная оценка вероятности \е "\2=?а для фиксированной пары
р Ф а, р, а-1, ..., 5 подтверждена. Вероятность того, что это случится
для каких-то р, а [т. е. для М =
5 /5 п
= Мах (\ е |2)>а], в крайнем случае в -^-- раз
(фа, р, о = 1 S Р' 1
больше (так как е " = ?*"> то достаточно рассмотреть р < а), т. е.
5 ^5 п р' .
<--/e-4a(S-i)_ Среднее значение М оценим снова в двух обла-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 367 стях: для значений is
0, я вероятность во всяком случае <1. а для значений > а, имеет место
приведенная оценка. Итак,
3H(M)gia+ S(S^l) е~
4а (5-1).
В качестве а можно взять любое число > 0, 1, мы полагаем
а - *nJ*¦. (Пригодное, так как 5^>1.) Тогда наша верхняя гра-
ница будет
3 1п5 . S(S-l) 3 InS . S* а1пЯ_
4 S ' 8 4 S ' 8 ~
3 InS , 1 3 InS
4 S 1 8S 4 S
Таким образом, если предпосылка 5^>1 выполнена достаточно
In S
сильно, то рассматриваемое среднее будет < .
Тем самым желаемые оценки полностью проведены.
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 >

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed