Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
( ср для 1^1*.
?^<Р-{о для
Но, согласно II. 8, это условие как раз характеризует /?ср = Х*ср.
Другой способ доказать, что /?ср=Х*ср, основан на Е\. (т. е. на Ei.). То
обстоятельство, что величина 91 принимает с достоверностью значение \*,
означает, что математическое ожидание величины (91 - X*)2 равно 0. Это
означает, что оператор F(R), где F(k) = = (к - X*)2, т. е. оператор (R-
\* • I)2, имеет то же математическое ожидание. Поэтому, должно быть
((/?-**• 1)2ср, <р) = ((/?-Ь*. 1)<р, (/?-*'• 1)<р) =
= II (R - Г • 1) срII2 = || /?<р _ ср||2 = О,
т. е. /?ср = Х*ср.
Итак, мы видим, что в частном случае, который мы рассматривали прежде,
должно быть /?ср = Х*ср. Как было указано в II. 6, это приводит к
следствию, что должно равняться одному из \ (так как ||ср|| = 1, то ср Ф
0), а ср = аср(1. Так как ||ср|| = ||ср || = 1, то и \а\ должно быть =1,
и, значит, его можно опустить, не изменяя состояния. Итак, V = \^,
ср = ср^ для какого-либо из
р=1, 2, ... (утверждение относительно можно было бы полу-
чить и непосредственно из , но не утверждение о ср!).
Итак, при сделанных допущениях относительно оператора R измерение
величины 91 имеет своим следствием превращение любого состояния <]> в
одно из состояний cpj, ср2, ..., соответственно связанных с результатами
измерения \2, ... Вероятности этих переходов равны поэтому вероятностям
измерения Xj, L,, так что их можно вычислить из .
Вероятность того, что значение величины 91 лежит в интервале /, дается
тогда, согласно , выражением ЦДД/)ф||2. Отсюда, если
учесть, что, согласно II. 8, Е{1) = 2 Р[9п]> будет следовать
1пв/
^=||?(/)Ф112 = (?(/)ф, <10= 2 40= 2 1(4". rf-
Значит, можно ожидать, что вероятность найти \п равна |(ф, <р")|2. Если
можно выбрать интервал / так, чтобы он содержал только одно \т, которое
тогда и есть как раз \п, то высказанное предположение непосредственно
следует из вышеприведенной формулы. Если же это не так (т. е. если другие
\т сгущаются к \п), то можно рассуждать, например, следующим образом:
Пусть jP (X) = 1 для
и -0 в остальных случаях. Тогда искомая вероятность Wn
3] ОДНОВРЕМЕННАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ И ИЗМЕРИМОСТЬ ВООБЩЕ 163
будет математическим ожиданием величины F (91) и, согласно ?2. (или Ei.),
равна (/^ (/?) ф, ф). Ну, а согласно определению (11.8),
СО
оР(/?)ф, ф) = / Р(Х)й1(||,?:(Х)ф||2).
- со
Вспоминая определение интеграла Стильтьеса, легко заметить, что это
выражение равно 0, если Д(Х)ф непрерывно (по X!) при Х = ХЯ и, вообще
говоря, равно скачку (монотонно возрастающей) Х-функции ||Д(Х)ф ||2 в
точке Х = ХЯ. Но этот скачок равен ЦР^фЦ2, где Ш? - замкнутое линейное
многообразие, растягиваемое всеми решениями уравнения /?ф = Хяф (ср. II.
8). В рассматриваемом случае Ш? = [сря] и поэтому
^ = ^12-
Мы ответили таким образом при сделанных предположениях относительно
оператора R на вопрос о том, "что" происходит при измерении его величины
91. Конечно, вопрос "как" остается пока невыясненным. Этот разрывный,
скачкообразный переход из ф в одно из состояний cfj, ср2, ... (которые
не зависят от ф, поскольку ф
входит лишь в соответствующие вероятности Wn - |(ф, сря)|2,
/г=1, 2, ... этих скачков) - это, конечно, не переход типа, опи-
сываемого временным уравнением Шредингера. Ведь это уравнение всегда
приводит к непрерывному изменению ф, при котором конечный результат
однозначно определен и зависит от ф (ср. сказанное в III. 2). В
дальнейшем мы попытаемся перебросить мост через эту пропасть (ср. VI)
125).
Предположим опять, что оператор R обладает чисто дискретным спектром, но
не будем больше требовать, чтобы все собственные
значения были бы простыми. Тогда снова можно образовать
последовательности cpj, <р2, • • • и Xj, Х2, ..., но среди Хя могут
встречаться равные. После измерения величины 91 с достоверностью
осуществляется состояние ср, для которого /?ср = Х*ср (X* - результат
измерения). Отсюда будет следовать, что X* равно одному из Хя, но
относительно ср можно сказать лишь следующее. Обозначим те из Хя, которые
равны X*, через ХЯ1, ХЯг, ... (их число конечно или бесконечно). Тогда
<Р = 2л аЯп-
(Если имеется бесконечно много /iv, то сумма 2|flv|2 должна быть
V
конечной.) Две таких ср описывают одно и то же состояние, только
125) То обстоятельство, что эти скачки связаны с представлением о
"квантовых скачках" старой теории квант Бора, обнаружил Jordan Z. Physik
40 (1924).
П*
164
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
если они отличаются лишь численным множителем, т. е. если отношение ej :
в2: ... у них одно и то же. Поэтому, коль скоро
имеется больше чем одно ге", т. е. коль скоро собственное значение X*
кратно, то состояние ср после измерения не определяется
однозначно и знанием результата измерения.
Вероятность значения X* (согласно W. или, соответственно, Е\. или Е^.)
вычисляется в точности так же, как и раньше. Она равна
w=xs к*. ?")12=2:кФ. ?ор-
п
Если спектр оператора R не чисто дискретен, то возникает следующая
ситуация.
