Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
(r), поскольку @ есть функция от 91, т. е. (r) причинным образом определяется
через 91127).
Перейдем теперь к более общему случаю, когда не делается никаких
предположений относительно кратности собственных значений R, S. В этом
случае мы применим совершенно другой метод.
Рассмотрим сначала величину 91Одновременное измерение91, @ является также
измерением 91 + (r), так как сложение результатов измерений дает значение
91 + (r). Вследствие этого математическое ожидание 91 + (r) в любом состоянии
<|> является суммой математических ожиданий {Ни(r). Заметим, что это имеет
место независимо
|27) Последнее предложение можно проверить с помощью W.! Разложения
единицы, принадлежащие R и S, можно построить, следуя 11.8.
3]
ОДНОВРЕМЕННАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ И ИЗМЕРИМОСТЬ ВООБЩЕ
169
от того, являются ли 91 и (r) статистически независимыми или же между ними
существует какая-нибудь корреляция, так как закон
Математическое ожидание суммы = сумме математических ожиданий,
как известно, справедлив всегда. Поэтому, если Т есть оператор величины
91 + (r), то рассматриваемое математическое ожидание равняется, с одной
стороны, (7+ ф), а с другой -
(Яф. ф) + (5ф. ф) = ((Я + 5)ф. <19,
т. е. для любого <|>
(7+ ф) = ((Я + 5)ф. ф).
Поэтому Т - Следовательно, величине 91 + (r) соответствует
оператор /? + 5128). Таким же способом можно показать, что величина a9ft
+ t>(r) (а, Ь - вещественные числа) имеет оператор aR-\-bS. (Это следует и
из первой формулы, если мы подставим 91, (r) и R, S в функции F(k)-a\, G
(р.) = 6р..)
Одновременное измерение 91, (r) является также измерением величин
9" + (r)^9" + (r)^ 9ft-(r) ^9"-(r)jaf ^9ft + (r)j2 ^9ft-(r)j2_^
Операторами этих величин (если воспользоваться еще тем обстоятельством,
что если Т - оператор величины Z, то у величины F (Z) будет оператор
F(T), откуда у величины Z2 - оператор Т2) будут, следовательно,
R + S IR + S \2_ Rt + s2 + RS + SR R - S
2 \ 2 / 4 ' 2 '
/Я -S\ 2 R2 + S2 - RS - SR (R + S\2 ( R - S \z _
/?S + SR
I 2 J - 4 ' I 2 J I 2 J - 2 •
Это значит, что 9ft • (r) имеет оператор у • Это справедливо
также для всех /''(ЭА), 0((r)) (которые ведь тоже измерились вместе с 9ft и
(r)), и поэтому /"'(ЭА)- 0((r)) имеет оператор Р (R) G (S) + G (S) Р (R)
2
Пусть теперь Е(К) и /""(р)- разложения единицы, соответствующие R п S.
Пусть, далее,
1 для XrgX,
/"09=;
О для X > X
1 для р р.,
0(р) = |
U для р > р.
128) Мы доказали этот закон, согласно которому оператором величины 91 +
(r) является сумма операторов величин 9ft и (r) для одновременно измеримых
9$, Ср., что говорится по этому поводу в конце IV. 1 и IV. %
170 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
Как мы знаем, F (R) = Е (X), G (5) = F (р.), поэтому F (91) • G (&) имеет
I . р? -
оператор J (для краткости мы пишем Е и F вместо Е(к)
или /^(р)). Поскольку /^(W) всегда равно 0,1, то F (9t)2 = F (91), и
поэтому
F(M) ¦ (F($R) • 0((r))) = /=,(М)0((r)).
Применяя теперь нашу формулу умножения к /^(Э?) и (5И) * О ((r)) (все они
измеримы одновременно), получим для этого произведения оператор fEF + FE
EF+FE
2 "г" 2 _ E2F+2EFE + FE2 EF + FE + 2EFE
2 ~ 2 ~~ 4
" EF + FE
Это выражение должно равняться --------^----, откуда следует,
что
EF + FE = 2EFE.
Умножая слева на Е, получаем E2F-\-EFE = 2 ¦ E2FE, EF -\-EFE = 2 • EFE,
EF = EFE, а умножение справа дает
EFE + FE2 = 2 • EFE2, EFE -\-FE = 2 • EFE, FE = EFE,
т. e. EF - FE, т. e. все E(k), F (у.) коммутируют и, следовательно, в
свою очередь коммутируют и R, S.
Согласно II. 10, это условие, т. е. коммутативность R и S, означает то же
самое, что и требование существования некоторого эрмитова оператора Т,
функциями которого являются R и S: R = F(T),
5 = 0(7'). Если этот оператор соответствует величине Z, то будет также 91
= F (?), <3> = G(Z). Поэтому это условие оказывается и достаточным для
одновременной измеримости, поскольку измерение Z (абсолютно точное, так
как % обладает чисто дискретным спектром, ср. II. 10) измеряет
одновременно также и его функции 91 и 0. Итак, коммутативность R и 5
является необходимым и достаточным условием одновременной измеримости.
Если дано несколько величин 91, 0, ... (но конечное число) с операторами
R, 5, ... и снова требуется абсолютно точная измеримость, то положение с
одновременной измеримостью будет обстоять следующим образом. Если все
величины 91, (r), . .. одновременно измеримы, то то же должно выполняться и
для всех образованных из них пар, т. е. все операторы R, 5, .. . должны
коммутировать друг с другом. Обратно, если R, 5, ... коммутируют друг с
другом, то тогда, согласно II. 10, существует оператор Т, функциями
которого все они являются: R - F(T), S~g[T), .... и поэтому для соот-
31
ОДНОВРЕМЕННАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ И ИЗМЕРИМОСТЬ ВООБЩЕ 171
ветствующей величины Z: Ш. - F (Z), <2>-0(Z). Точное измерение величины Z
(Z снова обладает чисто дискретным спектром, ср. II. 10) является,
следовательно, одновременным измерением величин SR, @, т. е.
коммутативность операторов R, 5, ... необходима и достаточна для
