Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
известными, то этот результат можно сформулировать также следующим
образом. Как измерения траектории кванта света после столкновения, так и
измерения такой траектории для электрона достаточно, чтобы определить
место и центральную линию столкновения. Эксперимент Комптона - Симонса
показывает, что оба эти наблюдения дают один и тот же результат.
Обобщая, можно сказать: одна и та же физическая величина (именно, какая-
либо координата точки столкновения или же направление центральной линии)
измеряется двумя разными способами (с помощью захвата квантов света или
электронов), а результат получается всегда один и тот же.
Эти два измерения происходят не совсем одновременно (квант света и
электрон приходят не сразу, и надлежащим изменением измерительной
аппаратуры любой из них можно поймать первым - конечно, речь идет о 10-9-
10~10 сек). Назовем более раннее измерение ЖР а более позднее - Ж2, а
измеряемую величину - 91. Теперь существенно следующее. Хотя вся
установка такого рода, что до измерения можно делать только
статистические утверждения относительно ОТ, т. е. относительно Ж] и М2
(см. ссылку в прим. 123)), статистическая корреляция между Ж] и Ж2
оказывается совершенно резкой (причинной): значение 91 для Ж] наверняка
равно значению 91 для Ж2. Итак, до измерений Мх и Ж2 оба результата
совершенно неопределенны. После же выполнения Ж, (но еще не Ж2) результат
Ж2 уже определен причинным и единственным образом.
С принципиальной точки зрения можно сказать: a priori мыслимы три степени
причинности или непричинности. Во-первых, значение величины 91 могло бы
быть полностью статистическим, т. е. результат измерения можно было бы
предсказать лишь статистически; и если бы непосредственно вслед за первым
было выполнено второе измерение, то оно могло бы опять обладать некоторым
распределением, совершенно не зависящим от значения, найденного при
первом измерении, например столь же широким, как и у первого 124). Во-
вторых, мыслимо, что значение величины 91 может иметь дисперсию в первом
измерении, но что каждое непосредственно за ним следующее измерение
вынуждено
124) Одна статистическая теория элементарных процессов была создана Boh
г'ом, Kramer s'om и Slate г'ом на основе таких представлений. См. Z.
Physik 24 (1924), а также прим. |23) на стр. 159. Эксперимент Комптона -
Симонса можно рассматривать как опровержение этого взгляда.
3]
ОДНОВРЕМЕННАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ И ИЗМЕРИМОСТЬ ВООБЩЕ
161
давать результат, согласующийся с первым. В третьих, 9i могло бы быть
определено причинным образом с самого начала.
Эксперимент Комптона - Симонса показывает теперь, что в статистической
теории возможен лишь второй случай. Поэтому, если первоначально система
находилась в некотором состоянии, в котором значение 91 не может быть
предсказано с достоверностью, то это состояние переходит при измерении М
величины 91 (в вышеприведенном примере - Mj) в другое состояние: а именно
в такое, в котором значение величины Й однозначно определено. Кроме того,
новое состояние, в которое М переводит систему, зависит не только от
установки для получения М, но также от результата измерения М (который не
может быть предсказан причинным образом в первоначальном состоянии),
поскольку значение 91 в новом состоянии должно быть как раз равно этому
М-результату.
Пусть теперь 91-некоторая величина, оператор которой R имеет чисто
дискретный спектр Хх, Х2, ... с соответствующими собственными функциями
ср2, .... которые, следовательно, образуют полную ортонормированную
систему. Кроме того, пусть каждое собственное значение будет простым (т.
е. кратности 1, ср. II. 6), т. е. X ф \ при р. Ф V. Предположим, что мы
измерили 91 и нашли значение X*. В каком состоянии окажется система после
этого измерения?
В силу предыдущей дискуссии это состояние ср должно быть таким, чтобы
возобновленное измерение 91 давало бы результат X* с достоверностью.
(Конечно, это измерение нужно делать немедленно,
-¦НтН
так как через т секунд ср перейдет в е h ср. Ср. III. 2, Н - это оператор
энергии.)
На этот вопрос - когда измерение величины 91 в состоянии <р с
достоверностью дает значение X* - мы ответим в общем случае, без
ограничительных предположений относительно оператора R.
Пусть ?(Х) - относящееся к R разложение единицы, а / - интервал (X', X"}.
Наше допущение можно сформулировать и так: величина 91 попадает в
интервал / с вероятностью 0, если этот интервал не содержит X*, или с
вероятностью 1, если X* принадлежит /, т. е. если X' <Х*^Х".
Согласно это означает, что ||?(/)ср||2 = 1, или, так как
||ср|| = 1, что ||?(/)ср|| = ||ср||. Так как ?(/) -проекционный оператор,
так же как и 1-Е(1) (теорема 13., II. 4), то
II ср ? (/) ср II 2 = II ср ||2 || ? (/) ? II2 = О,
ср -?¦(/) ср = О,
Е (X") ср - Е (X') ср = ?(/) ср = ср.
11 И. Нейман
162
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
Предельный переход -оо дает ?¦(>/') ? = ?¦ а переход
Х"->4-оо Дает Е(к')<?=0 (ср- Si., II. 7). Поэтому
