Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
одновременной измеримости величин SR, 2>, ...
Рассмотрим теперь такие измерения, которые не абсолютно точны, но
выполняются с (произвольно большой) заранее заданной точностью. Тогда R,
S, ... уже не обязаны иметь чисто дискретный спектр.
Поскольку измерения величин SR, @, ... с ограниченной точностью означают
то же самое, что и абсолютно точные измерения
величин F 0Я), 0($) где F (X), G(X), ...-известные функции,
способ построения которых был описан в начале этого параграфа (при
обсуждении измерения ограниченной точности; там, разумеется, было дано
лишь построение F (X)), тогда SR, @, ... наверняка измеримы одновременно,
если все /7(91), 0(<$), ... измеримы одновременно с абсолютной точностью.
Но последнее эквивалентно требованию коммутативности операторов F (R),
G(S) которая в свою
очередь следует из коммутативности операторов R, S, ... Поэтому
коммутативность операторов R, S, .... во всяком случае, достаточна.
Обратно, если считать величины SR, <$,... одновременно измеримыми, то
поступим следующим образом. Достаточно точное измерение величины Ш
позволит решить, является ее значение > X или sS X (ср. наше определение
"ограниченной точности", обсуждавшееся, в частности, в прим. 126) на стр.
166). Тогда, если F (X) определено так, что /7(Х)=1 для и =0 для X > X,
то F (Ш) измеримо
абсолютно точно. Соответственно если 0(р.)=1 при и -0
при р. > р., то 0(<$) измеримо с абсолютной точностью и, более того, обе
величины измеримы одновременно. Следовательно, F (R), G(S) коммутируют.
Пусть теперь Е(Х) и /7(р.)-разложения единицы, принадлежащие R н S. Тогда
F (R) - E(X), G(S)- F (р) и, следовательно, Е (X) и F (р) коммутируют для
всех X и р. Следовательно, R н S коммутируют, и так как это должно иметь
место для любой
пары из R, S то и все R, S, ... должны коммутировать друг
с другом. Таким образом, это условие также и необходимо.
Итак, мы видим, что характеристическим условием одновременной измеримости
произвольного (конечного) числа величин Ш, (r), ... является
коммутативность их операторов R, S, ... Действительно, это верно как для
абсолютно точных измерений, так и для измерений с произвольной точностью,
только в первом случае надо еще потребовать, чтобы операторы обладали
чисто дискретными спектрами, что характеристично для возможности
абсолютно точного измерения.
Тем самым мы построим математическое доказательство того, что - это
наиболее далеко идущее утверждение, которое вообще
172
КВАНТОЙОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[М. 1П
возможно в этой (т. е. во включающей W.) теории. Ведь оно предполагает
лишь коммутативность операторов Rv Rt, а без этого условия относительно
результатов одновременных измерений величин
91].....91; вообще ничего сказать нельзя, так как одновременное
измерение этих величин вообще невозможно.
4. Соотношения неопределенности
В предыдущих параграфах мы пришли к важным выводам об измерительном
процессе, шла ли речь об одной величине или же о нескольких, измеримых
одновременно. Теперь нам надо выяснить, как будут вести себя величины, не
измеримые одновременно,-мы будем интересоваться их статистикой в одной и
той же системе (и в одном и том же состоянии <р).
Итак, пусть даны две такие величины 91 и (r), равно как и их (не
коммутирующие) операторы R и 5. Несмотря на это предположение, такие
состояния <р, в которых обе величины имеют точно определенные значения
(т. е. дисперсию, равную 0), могут существовать, т. е. могут существовать
собственные функции, общие для них обеих, нельзя только образовать из них
полную ортогональную систему, так как тогда R и 5 коммутировали бы. (Ср.
построение, приведенное в II. 8 для соответствующих разложений единицы
Е(к), Е(А): если <р,, <р2, ... образуют полную ортогональную систему, о
которой шла речь, то как Е (А), так и Е (А) будут суммами j и потому
будут коммутировать, так как коммутируют ^ ].) Легко
понять, что это означает, что замкнутое линейное многообразие 5)f,
натянутое на эти <р, должно быть меньше, чем 9^,- потому что, будь оно
равно 9^, искомая полная ортонормированная система могла бы быть
построена точно так же, как это было сделано в начале II. 6 для одного
оператора.
В состояниях из 5)f наши величины 91 и @ измеримы одновременно, что проще
всего показать, приведя модель такого одновременного измерения. Поскольку
общие собственные функции <р операторов R и 5 растягивают Ш, то тем самым
существует и растягивающая 2R (т. е. полная в 2R) ортонормированная
система таких <р: <р,, <р2. ... (и их можно получить путем только что
упомянутого построения из II. 6). Расширим систему <plf <р2, ... до
полной
системы <р,, <р2, .... фр ф2 добавляя ортонормированную систему
<р,, ф2, ..., которая растягивает 9?^- 5)f. Пусть теперь А,, А2, ... ...,
р.,, [а2, ...-все различные числа, Т - оператор, определенный
соотношением
Т ( 2 хп ' 2 Уп ' Фя) " хп ' "4" ^4 РлУя ' Фл*
\ п п / п п
а % - соответствующая этому оператору величина.
4]
СООТНОШЕНИЯ неопределенности
