Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
предметом физики: именно альтернативные свойства*) системы 5.
Альтернативным свойством будет, например, что некоторая величина 91
принимает определенное значение X, или что значение величины 91
положительно, или что значения двух одновременно измеримых величин 91 и
<2> равняются соответственно X и р, или что сумма квадратов этих значений
>1 и т. п. Мы обозначали величины через 91, <$,..., будем обозначать
альтернативные свойства буквами (?, ... Величинам отвечают, как мы
только что установили,
гипермаксимальные эрмитовы операторы R, S, .... что же будет
соответствовать альтернативным свойствам?
Мы можем сопоставить каждому альтернативному свойству @ величину,
определив ее так: каждое измерение, разрешающее альтернативу наличия или
отсутствия свойства @, рассматривается как измерение этой величины; при
этом ее значение равно 1, если @ имеет место, и нулю в противном случае.
Величину, которая соответствует альтернативному свойству (?, будем также
обозначать через (?.
*) Мы решили воспользоваться для перевода немецкого "Eigenschaften" таким
оборотом, который точнее передаст по-русски смысл дальнейших рассуждений.
Ради краткости мы будем говорить и просто об "альтернативах"- Прим. ред.
186
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
Такие величины принимают лишь значения 0 и 1, и обратно, любая величина
М, принимающая лишь эти значения, соответствует альтернативному свойству
@, которое, очевидно, состоит в следующем: "Значение величины М не равно
0". Поэтому для величин сопоставляемых альтернативным свойствам, этот
признак является характерным.
То обстоятельство, что @ принимает лишь значения 0, 1, может быть
сформулировано также следующим образом: его подстановка в полином F(k) =
\- \2 тождественно обращает последний в нуль. Если величине @
соответствует оператор Е, то величине F (@) соответствует оператор F(E) =
E - Е2\ поэтому наше условие гласит: Е - ?2 = 0, или Е = Е2. Иными
словами: оператор Е величины @ - это проекционный оператор.
Итак, альтернативным свойствам (через посредство соответ-
ствующих величин @, которые мы только что определили) сопоставляются
проекционные операторы Е или замкнутые линейные многообразия 2U, если
рассматривать наряду с проекционными операторами Е = Р>хц и принадлежащие
им замкнутые линейные многообразия *Dt.
Рассмотрим теперь более подробно вычисления с взаимно соответствующими
друг другу &, Е и Ш.
Если мы хотим рассудить альтернативу, обладает или нет состояние <р
свойством @, то мы должны измерить величину @ и установить, равно ли ее
значение 1 или 0 (это - то же самое по определению). Тем самым
вероятность первого, т. е. того, что @ имеет место, равна математическому
ожиданию @, т. е.
О&р, <p)=||?<p||2=||/Vp||2,
а вероятность второго, т. е. того, что @ не имеет места, равна
математическому ожиданию 1-@, т. е.
((1 -Е)<?, <р)= ||(1 - ?)<р||2= ||ср - Рй<р||2.
(Сумма, конечно, равна (<р, <р), т. е. единице.) Следовательно, @
наверняка имеет место/не имеет места, если соответственно вторая/первая
вероятность равна нулю, т. е. при Рту = у /- 0. Иными словами, если ср
принадлежит к 2U / ортогонально к 2)i илц же если <р принадлежит к 2К/к
9^-2U.
Стало быть, 9)i может быть определено как множество всех <р, с
достоверностью обладающих свойством @. (Собственно, этим определяется
лишь подмножество 9)i, лежащее на поверхности ||ср||=1. Само 2R
получается отсюда умножением на положительные константы и добавлением
нуля.)
Если мы назовем свойство, противоположное свойству @ (отрицание @), "не
@", то из сказанного выше непосредственно будет следовать, что если Е или
9)i относятся к 6, то к "не @" относятся 1-Е или 9?оо -
5]
ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ КАК УТВЕРЖДЕНИЯ
187
Как и в отношении величин, здесь также возникает вопрос одновременной
измеримости (или, вернее, одновременной рассудимости*) свойств). Ясно,
что (J, ^ одновременно рассудимы тогда и только тогда, когда
соответствующие величины @, $ одновременно измеримы (неважно, абсолютно
точно или с произвольно большой точностью, постольку они ведь могут
принимать лишь значения 0 и 1), т. е, если Е, F коммутируют. Аналогично
обстоит дело в случае нескольких свойств
Из одновременно рассудимых свойств @, $ можно образовать дальнейшие
свойства "(? и и "С? или Величина, соответствующая свойству "(? и $",
равна 1, если обе величины, соответствующие @ и равны 1, равна 0, если
одна из них равна нулю, т. е. произведению этих величин. Согласно F*. ее
оператором будет произведение операторов величин (J и т. е. EF. По
теореме 14. из II. 4, соответствующее замкнутое линейное многообразие
будет общей частью многообразий 9)i и %1.
С другой стороны, свойство "(? или U" можно записать как
"не ((не @) и (не ^))", и, следовательно, его оператором будет
1 _(i -E)(\-F) = E-\-F - EF
^по способу построения это, конечно, тоже проекционный оператор). Так как
F - EF является проекционным оператором, то линейным многообразием,
принадлежащим к E-\~F - EF, будет -j- (5^ - $?)
