Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
(теорема 14. из II. 4). Оно является подмножеством {9)i, СИ} и, очевидно,
содержит 9)i, значит, по симметрии также и а следовательно, и {2)i, 5^}.
Следовательно, оно равно {5К, 5^}, которое, как замкнутое множество, само
равно [9)i, !П].
Если @ является свойством, которое всегда имеет место (т. е. пустым), то
соответствующая величина равна тождественно 1, т. е. ?¦ = 1, Я)? = З^оо-
С другой стороны, если (§: никогда не имеет места (т. е. невозможно),
тогда соответствующая ему величина тождественно равна 0, т. е. Е= 0, 9)i
= 0. Если два свойства (§;, $ несовместны, то во всяком случае они должны
быть одновременно рассудимы и свойство "(? и $" должно быть невозможно,
т. е. Е и F должны коммутировать, a EF = 0. Но поскольку из EF = 0
вытекает перестановочность (теорема 14. из II. 4), то это свойство
характерно само по себе. Если предположить, что Е и F коммутируют, то
тогда EF = 0 означает попросту, что общее подмножество множеств 9)i и
состоит лишь из 0, однако из одного последнего условия перестано-
*) Мы переводим словами "рассудить", "рассудимость" используемую автором
терминологию "entscheiden", "Entscheldbarkelt", не имеющую аналога в
нашей литературе. Прим. перев.
188
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
вочность Е и F следовать не будет. Напротив, в общем случае EF = О
утверждает для 30i и 9?, что всё 301 ортогонально ко всему Ш (теорема 14.
из II. 4).
Если - это величина с оператором R, которому принадлежит разложение
единицы Е(к), то оператором свойства "tft лежит в интервале /={Х\
p/)"#()/gip/) будет оператор Д(р/)- Е(У). Чтобы убедиться в этом,
достаточно заметить, например, что вероятность сделанного утверждения
равна ((?([*')- Е(К')) ср, ср) (ср. в III. 1). Другой способ: величина,
соответствующая рассматриваемому свойству, равна = F (tft), где
( 1 при X' < X ^ и/,
( 0 в остальных случаях,
так что F (R) = Е(р/) - Е(к') (ср. II. 8 или III. 1). В III. 1 этот
оператор обозначался через Е(1).
Итак, мы пришли к следующим выводам относительно связи между свойствами
(§:, их проекционными операторами Е и замкнутыми линейными многообразиями
30J этих операторов:
") Вероятности того, что свойство имеет или не имеет
места в состоянии ср, равны
(Дер, ср)= ||Дср||2= [[АщсрН2
или
((1- ?)ср, ср)= ||(1 - Д)ср||2= |[ср - PfflCpll2.
Р) с достоверностью имеет или не имеет места в состояниях ср,
принадлежащих 301 или -2)( соответственно, и только в таких состояниях.
у) Для одновременной рассудимости нескольких свойств ff, . ..
перестановочность их операторов Е, F, ... является
характерной.
8) Если Е, 30( принадлежат свойству (?, то 1 -Е, - 30J
принадлежат свойству "не (?".
е) Если Е, 301 принадлежат свойству (?, a F, ЭД - свойству ff и если @
и ff одновременно рассудимы, то EF и общая часть SDt, принадлежат
свойству "(? и ff", a E-\-F - EF и (301, 9J} (равное [30(, 9(])
принадлежат свойству "(? или ff".
¦"]) всегда имеет место, если Е = 1 или же если 30i = 91с",
и никогда не имеет места, если Е= 0 или же если 30( = (О).
91) (?, ff несовместны, если EF - 0 или, также, если всё 301 ортогонально
всему 9i.
Q) Пусть величине Ш соответствует оператор R и пусть / - некоторый
интервал. Пусть Д(Х) - разложение единицы, принадлежащее R, /={Х/, р/)
(Х'^р'), Е(Г) = Е(\>.')- Е(\') (ср. III. 1). Тогда оператор Е (/)
принадлежит свойству "91 лежит в /".
6]
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
189
С помощью предложений а)-?) можно вывести указанные выше вероятностные
утверждения W., Е\., Е2., а также утверждения из III. 3 относительно
одновременной измеримости. Ясно, что последние утверждения эквивалентны
у); W. следует из а), е), ?), а Е\., Е2. являются его следствиями.
Мы видим, что связь между свойствами физической системы, с одной стороны,
и проекционными операторами, с другой, делает возможным некое логическое
исчисление над ними. Однако в противоположность исчислению обычной логики
эта система обогащена характерным для квантовой механики понятием
"одновременной рас-судимости".
Это, основанное на проекционных операторах, исчисление предложений имеет,
пожалуй, определенные преимущества над исчислением величин, опирающимся
на совокупность всех (гипермаксимальных) эрмитовых операторов, состоящие
в том, что понятие "одновременной рассудимости" является уточнением
понятия "одновременной измеримости". Например, чтобы вопросы "лежит ли 91
в /?" и "лежит ли @ в 7?" [91 и обладают операторами R a S, а эти в свою
очередь - разложениями единицы Е(к) и /^(р.); / = {X', X"}, 7= {р/, р"}]
были бы одновременно рассудимы, мы требуем лишь (согласно f), ?)), чтобы
операторы Е(1) = Е(к") - Е(к) и F(J)=F(\>.")- ^(рО коммутировали. Для
одновременной же измеримости 91, необходима перестановочность всех Е (X)
со всеми F (р).
6. Теория излучения
Мы снова вывели все статистические утверждения квантовой механики,
приведенные в I. 2, и даже существенно обобщили их и придали им
систематический порядок с одним-единственным исключением. Именно, нам
