КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
классу С2 и самая сложная часть в доказательстве регулярности - это
доказательство локальной ограниченности минималей.
Помимо этих возможных нерегулярных экстремалей функционал J не имеет
других экстремумов, а только минимум в А.
Доказательство монотонности в предложении 8.4 показывает, что минимали U
= U(x, в + s) образуют поле экстремалей, однократно покрывающее Тп+2.
в) Применим эти результаты к функционалу (8.2), который обозначим
Ja(U), зависимость от а входит через Dv = dXv + аидд. В соответствии с
ранее полученным результатом существует С2-минималь в А, обозначенная U =
такая, что
Ms(a) = min J*a(U) = Jsa(Usa)- (8-6)
1 Пример такого типа смотри у J. Frehse, A note on the Holder continuity
of solutions of variational problems. Abhandlg. Math. Seminar, Univ.
Hamburg 43, 1975, стр. 59-63. Благодарю С. Хилдебрандта за эту ссылку.
Глава 4
255
Кроме того,
1
deU°>0' J^KdO = l. (8.7)
о
Очень важно получить оценки для U = [/(r), которые не зависят от е > 0.
Предложение 8.5. Существует константа с > 0, не зависящая от е > 0,
зависящая только от F, и а такая, что для минимали U = = [/(r) функционала
выполнено
\DvU\loo, \DvDilU\LOO ^ с для и, ц^п
и
Vs\Dn+iU\LX, ^ с.
Это утверждение показывает, что производные вдоль листов в = (а, х) +
const ограничены независимо от е, в то время как транс-версальные к этим
листам производные растут не быстрее чем ?-1/2. Эффект регуляризующего ?-
слагаемого в (8.2) нужен, чтобы сгладить разрывность U, подобно тому, как
в теории гиперболических дифференциальных уравнений ударные волны
сглаживаются слагаемым вязкости.
Доказательство предложения 8.5 может быть получено с помощью масштабного
преобразования вариационной задачи
as: (х, Л) -"• (х, (а, х) + л/е\ = в)
так, чтобы при V = U о ае выполнялось
J |и% + F(x, U, DU) dxde = ^/e J |уА2 + F(x, V, Vx) dx d\.
Q <*71Q
Можно заменить <t71Q другой фундаментальной областью IT+Vct^Z^1, например
Ps = [х, А | |ж.К 1ЛК^}
256 Минимальные слоения на торе
и получить для минимали U = оценку для
/{\VZ +F^ У' Уж)} dxdX =
Е Ре
= J+ F(x, U, DU)^ dxd6 ^ Ci(а) (8.8)
с константой, не зависящей от е. Здесь |РЕ| = е-1/2 обозначает объем РЕ.
Такая же оценка верна, конечно, для 2Ре (с объемом 2"+1?-1/2) вместо Ре,
и, воспользовавшись предположениями о F, получим
Щ J (V? + \Vx\2)dxd\^c2(a)
12 Р
2 Ре
независимо от е. Мы рассматриваем 2Ре как объединение кубов
Ст = {(ж, Л) G Mn+1, \xv\ "С 1, |А-2ш|<1}
для целых т с \т\ ^ N = -^= - 1 так, чтобы хотя бы для одного из
L у ? -I
этих кубов С = Ст" выполнялось
^/(^л2 + |Уж|2)^йА^С2(а).
1<?| и
С помощью метода де Джорджи (см., например, [12]), можно получить для
этой перенормированной вариационной задачи
osc У ^ сз(а). (8.9)
-с
2°
Если соединить это с тем фактом, что V является монотонно возрастающей
функцией А и согласно (8.7) удовлетворяет
Глава 4
257
то из (8.9) легко получить
oscF < 04(a).
р?
Сейчас применим стандартную теорию регулярности [12] к перенормированной
не зависящей от е вариационной задаче (8.8), чтобы получить поточечные
оценки для
|Va|, \Vx\, \Vxx\ ^ ce(a)
и т. д. в Ре. После преобразования получим утверждения нашего
предложения. Это рассуждение было использовано Дензлером [6] в случае п =
1.
г) Предположим, что U = [/(r) - минималь задачи (8.2), нормализованная к
виду (8.4). Тогда можно найти стремящуюся к нулю последовательность ?т >
0 такую, что
Uam ->• и° ПОЧТИ ВСЮДУ
к функции, удовлетворяющей уравнению Эйлера (5.9), условию периодичности
и монотонности. Доказательство зависит от полученных выше оценок и слабой
формы уравнений Эйлера для U = [/(r):
J11(pgUg + ^2 FPv (ж' U' DU)Dv<p + FupI dx d0 = 0 Q
для всех p ? C'1(Tn+1). Т.к. ^/e\Ue\ равномерно ограничено, легко
проверить, что U = U° удовлетворяет
U, DU)Dvp + Fjj(x, U, dU)p^ dx d9 = О
Q
для всех р? C1(Tn+1), слабой форме (5.9). Таким образом, U°(х, (а,х)+ +
в) = и(х) при почти всех в является решением исходного уравнения Эйлера
(1.10). Конечно, в общем случае U° не будет непрерывной по 9. Мы опустим
доказательство того, что U° почти всюду совпадает с функцией U±,
построенной в § 5.
На этом завершается наше схематическое обсуждение построения функции U± с
помощью регуляризованной вариационной задачи.
258
Минимальные слоения на торе
Стоит заметить, что (п + 1)-мерный интеграл может быть получен из n-
мерного интеграла с помощью усреднения:
J'a(U) = Дт ^ J (|[/,2 + F(x, U, DU)) dx,
By
где в = (а, х) + (3 для любой С1-функции при условии, что а
иррационально. Это является следствием равномерного распределения слоения
xn+i = (а, х) + const при иррациональном а.
д) В заключении покажем, что минимальная энергия МЕ(а), заданная
выражением (8.6), является выпуклой функцией а. Мы докажем это для е > 0,
когда Ms(a) является гладкой функцией а, затем с помощью предельного
перехода докажем выпуклость М°(а). Для п = 1 выпуклость усреднения
минимальной энергии была доказана Обри и Мезером [20]. Похоже, что их
доказательство не применимо при п > 1.
