КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
сопряженное относительно гладкого диффеоморфизма к исходному слоению. В
этой статье показана устойчивость специальных слоений коразмерности 1 на
торе высокой размерности. Этот результат доказан в предположениях на
малые знаменатели аналогичных тем, которые требуются в динамических
системах. Эту теорему можно рассматривать как распространение теории
возмущений инвариантных торов для гамильтоновых систем на системы
дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, для
которых получаются квазипериодические решения.
§ 1. Введение
(а). Здесь рассматриваются слоения коразмерности 1 на торе Td высокой
размерности, листы которых являются экстремалями некоторой вариационной
задачи. Частный случай представляет слоение, листы которого являются
минимальными поверхностями относительно заданной метрики. Обычно
рассматриваются компактные минимальные поверхности, мы же придем к
слоениям с некомпактными листами. Назовем такое слоение устойчивым, если
при малых возмущениях вариационной задачи (соответственно, метрики)
существует другое слоение, которое является сопряженным к заданному
относительно диффеоморфизма, близкого к тождественному. Цель данной
работы - установить устойчивость таких слоений при определенных
предположениях. В частности, необходимо, чтобы каждый лист был плотным на
торе.
1 J. Moser, A stability theorem for minimal foliations on a torus, Ergod.
Th. &; Dynam. Sys. (1988), 8*, 251-281. (Перевод В. А. Зайцева.)
§ 1. Введение
263
С аналитической точки зрения, наш результат приводит к существованию
квазипериодических решений нелинейных дифференциальных уравнений в
частных производных, что обобщает такие утверждения для гамильтоновых
систем.
Прежде чем сформулировать результат, проиллюстрируем его на примере
слоений минимальных поверхностей на плоском торе. Рассмотрим тор Td =
Md/Zd, обозначим х\, Х2, ... , жд координаты в и плоскую метрику
d
dso = ^dxl.
v=l
Тогда для любого вектора а = (ад, "2, • • • , о-d) Ф 0 параллельные
гиперповерхности
d
avxv = const
V=1
задают слоение минимальных поверхностей. Не всякое такое слоение будет
устойчивым относительно возмущений метрики. Мы должны потребовать, чтобы
эти листы были плотны на торе. Это эквивалентно тому условию, что нормаль
{А а}, А € К не проходит ни через какой узел решетки кроме 0. В
действительности, мы должны наложить более строгое ограничение, а именно,
чтобы расстояние от этой нормали до узла решетки j Е 1d \ (0) было "не
слишком малым". Мы предположим, что существуют положительные константы 7,
т такие, что для всех j = (j 1, J2, ... , ja) € Zd \ (0) выполнено
неравенство
d d _T
У ' {av in ~ aH jv) Ф T jy) • (1-1)
V,fl = l 1/= 1
Мы покажем, что при диофантовом условии (1.1) данное слоение
действительно будет устойчивым относительно гладких возмущений метрики. С
другой стороны, как показал Бангерт [1], при больших возмущениях метрики
в общем случае таких минимальных слоений не существует. При возрастании
возмущения слоения теряют гладкость и распадаются на "ламинации"
(disintedrate to "laminations") [16]. Заметим, что если условие (1.1)
нарушается, такое слоение может разрушаться при произвольно малых
возмущениях; другими словами, устойчивости может не быть, если нарушено
условие (1.1). Необходимость условия (1.1) для устойчивости в случае d =
2 следует из работы [13].
264
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
(Ь) Чтобы записать задачу в более общей постановке, представим листы
слоения в непараметрическом виде: п = d - 1, положим х = = (xi, Х2, ... ,
хп) и запишем гиперповерхность коразмерности 1 в виде
xn+i = и(х), d = n+l. (1.2)
В дальнейшем (п + 1)-векторы будем обозначать х = (х\, ... , xn+i).
Вариационная задача запишется в виде
J F(x, и, их) dx, (1-3)
где dx = dx\ dx2 ¦ ¦ ¦ dxn и F = F(x, p) - гладкая
функция периода 1 по
первым d = п + 1 переменным, здесь р меняется в открытом
подмно-
жестве в Ж". Таким образом
F е
12 - открытая область в Тп+1 х Ж(tm) такая, что 7г(12) = Тп+1, где 7г - это
проекция тт(х, р) = х. Потребуем, чтобы функция F удовлетворяла условию
Лежандра (Legendre)
П
^2 рр^(х,Р)и^ме (i-4)
и, /1=1
для всех ? 6 Ж(tm), (х, р) 6 12. Положительную константу можно взять равной
1.
Функции и, представляющие листы слоения, должны удовлетворять уравнению
Эйлера
П
^2 ]^F(FP"(x, м' "*)) = Fu^x' "*)' (1-5)
и=1 V
которое является нелинейным дифференциальным уравнением эллиптического
типа. Решения уравнения (1.5) называются экстремалями.
Чтобы определить минимальное слоение на торе, поднимем его на Жга+1,
используя Zra+1-fleftcTBHe.
Определение. Для заданной вариационной задачи (1.3) и О^г^оо определим
Z(tm)-*-1-инвариантное Сг - минимальное слоение как функцию и € Сг(Ж(tm) х Ж,
Ж), (х, А) -> и = и(х, А) такую, что:
§ 1. Введение
265
(i) Для каждого фиксированного Л € Ж функция и(х, Л) - это экстремаль
уравнения (1.5).
(ii) Для фиксированного х € I(tm) это отображение является С-гомеоморфизмом
