КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
268
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
Эта теорема показывает, что необязательно предполагать, что U* является
решением уравнения ?(F*, TJ*) = 0 для некоторого F*; достаточно
потребовать, чтобы U* было "приближенным решением" уравнения (1.7). Кроме
того, нет необходимости требовать, чтобы U* было класса С°°. Отметим
также, что условие малости (1.11) зависит лишь от конечного числа
производных от F, U*, поэтому мы можем гарантировать, что U € С°°. Это
можно использовать наряду с теоремой единственности (см. § 5) для
доказательства теоремы о регулярности для уравнения (1.7), взяв в
качестве U* само решение.
Мы установим точные значения а и b в последующей теореме, где
соответствующие условия будут выражены в терминах соболевских норм. Что
касается класса дифференцируемости, здесь наши результаты очень грубые.
Для получения оптимальных результатов потребовался бы более точный выбор
норм, которые приобрели бы довольно сложный вид. Необязательно также
предполагать, что F 6 С°°(Я), достаточно считать, что F 6 С1(?1) для
некоторого большого I.
(d) Мы упомянем о некоторых типичных приложениях.
Пример 1.1. Для подынтегральной функции
F(x,p) = ±\p\2+ \V(x), V е C°°(Tn+1),
уравнение Эйлера превращается в дифференциальное уравнение в частных
производных с периодическими коэффициентами
Дм = AVu(x, и).
Тогда теорема 1 обеспечивает существование квазипериодических решений
и(х) = U (х, (а, х) + /3) для любого а, удовлетворяющего (1.9), и
достаточно малого |А|. Действительно, выберем в качестве приближенного
решения U*(x) = хп+±. Это решение является точным для уравнения (1.7) при
А = 0. Поэтому при помощи выбора А выражение
П
?(F, U*) = ?)(&," + al/dXn+1)2U* -\V{x) = -XV{х)
V=1
можно сделать малым. Здесь нужно иметь в виду, что в формулировке условия
малости, |А| < А*, число А* зависит от верхней границы для |а|. Тем не
менее, в этом конкретном примере можно найти квазипериоди-ческие решения
и для больших |а|.
§ 1. Введение 269
Пример 1.2. Мы упомянем, что наше доказательство, которое будет приведено
ниже, также будет давать квазипериодические решения вида (1.6) без каких-
либо условий малости на потенциал. Мы снова предположим, что
F(x,p) = l\p\2 + V(x), (1.13)
где V ? С°°(Tn+1). Тогда для любого а, удовлетворяющего (1.9), и |а|
достаточно большого существует решение U уравнения (1.7).
Дело в том, что для подынтегральных функций типа (1.13) константу S можно
выбрать независимо от верхней границы на |а|, поскольку DU не входит в
нелинейность V = V(x, U). Это уточнение теоремы 1 доказывается
непосредственно.
Чтобы получить приближенное решение для ?(F, U*) ~ 0 в этом случае, мы
заменим уравнение (1.7) на
Н 2dln+1U* = Vu(x).
Можно прибавить к V функцию, зависящую только от х, так, чтобы уравнение
Эйлера не изменилось, и получить V = dXn+1Z(x), Z ? С°°{Тп+1). Тогда для
и* = xn+1 + \a\~2Z(x),
очевидно, выполняется
?(F, !/*)= (i>Ma|2^n+1V-
V=i '
- (vu(x, хп+1 + Ia\~2Z) - Vu(x)) = 0(|a|_1).
В этой ситуации теорема дает решение U такое, что
|и - xn+i\ci = 0(Н-1).
Пример 1.3. Рассмотрим слоения, листы которых являются минимальными
гиперповерхностями относительно метрики g={gvд(ж))&С°°, близкой к плоской
метрике g*. В этом случае мы полагаем
/ п+1 ч 1/2
F = ( ^2 ^(х)рирА (detg-)1/2, рп+1 =-1, (?'") = (gu^y1-
V, Д=1 '
270 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
Для плоской метрики g*, не зависящей от х, мы можем выбирать U* = = xn+i
для любого а. Таким образом, наша теорема обеспечивает гладкое
минимальное слоение для любого а, удовлетворяющего (1.9), и С^-метрики,
достаточно близкой к плоской метрике g*. Поскольку условие (1.9) при |а|
^ const эквивалентно (1.1), это доказывает утверждение об устойчивости,
сформулированное в начале введения, скажем, для |а| ^ 1. Заменой
координат мы всегда можем прийти к этому случаю.
Отметим, что эта подынтегральная не имеет квадратичного роста при |р| ->
оо, уместного для глобальной теории [16]. Однако для нашей теоремы
никаких условий роста не требуется, поскольку функция F должна быть
известна только в области
О = Тп+1 х Вг(а), здесь В г (а) - шар в радиуса г > 0 с центром в а
такой, что
(х, U*, DU*) = (х, а)
принадлежит 12.
(е) Существует обширный список литературы по теории слоений. Мы
установим связь между проблемами, затронутыми там, и нашими результатами.
Один из центральных изучаемых вопросов - когда слоение будет "натянутым"
(taut), т.е. для каких слоений можно найти такую риманову метрику, в
которой все листы являются минимумами. Основные результаты по этому
вопросу, в частности, для случая компактных слоений, принадлежат Раммлеру
(Rummler) [20] и Салливану (Sullivan) [23]. Эти авторы также получили
критерий, согласно которому метрика, заданная на листах слоения, может
быть продолжена на объемлющее пространство таким образом, что листы
станут минимальными подмногообразиями. Хефлигер (Haefliger) [5] записал
критерий в другом виде, включающем в себя только трансверсальную группу
