КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Ж на Ж таким, что и(х, А) < и(х, А') при А < А' и ди/д\ > 0 при г ^ 1.
(iii) Слоение, заданное листами xn+i = и(х, Л), Л € Kn+1, инвариантно
относительно Zn+1-fleiicTBHH.
Мы будем главным образом иметь дело с С00-слоениями, соответствующими
случаю г = оо. Отметим, тем не менее, что даже для F 6 С°° минимальное
слоение может не быть дифференцируемым (см. [17]).
Экстремали, представляющие листы минимального слоения, являются частными
решениями уравнения Эйлера. Они минимизируют функционал (1.3), взятый по
большому шару, среди всех допустимых функций с одинаковыми граничными
условиями. Это следует из того, что листы такого слоения можно
рассматривать как "поле экстремалей" в смысле вариационного исчисления.
Известно, что всякая экстремаль этого поля, для которой выполнено условие
(1.4), будет доставлять минимум. Другими словами, поле экстремалей - это
всегда поле минимумов. Кроме того, листы минимального слоения, очевидно,
не имеют самопересечений на торе Тп+1. Иными словами, для листов
минимального слоения (записанных в непараметрическом виде) имеются только
минимальные решения уравнения (1.5) без самопересечений.
Такие минимальные решения уравнения (1.5) без самопересечений были
изучены в [16], [17] и [2] при дополнительном условии роста функции F. Из
этих работ вытекает, что заданному Z(tm)-*-1-инвариантному минимальному
слоению можно поставить в соответствие единственный "вектор нормали" а =
(ад, ... , ап, -1) такой, что для каждого листа
sup|m(:e) - (а, ж)| < оо, а = (ад, ... , ап).
X
Кроме того, существует функция U = U(x, в),
U{x, в)-в е Cr(Td), deU{x, в) > 0, если г ^ 1, такая, что листы слоения
принимают вид
xn+i = U (ж, (а, х) + 0), /3 = const.
(1.6)
266
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только гладкие слоения такого
вида.
Геометрический смысл представления (1.6) состоит в следующем. Слоение
(1.6) является сопряженным к слоению параллельных гиперповерхностей
хп+1 = {а, х) + /3, [3 = const,
относительно СТ-гомеоморфизма
х ->¦ (ж, U(x)),
который индуцирует С'г-гомеоморфизм на торе. В частности, два гладких
слоения, отвечающих одному вектору а, являются сопряженными.
Таким образом, минимальное слоение (1.6) определяется вектором п?1"и
функцией U = U(x), которая должна удовлетворять условиям
П
(i) 2a(F, U) = d"fp* (ж> U, DU) - Fu(x, U, DU) = О,
и=1
А/ = dXv + а"дХп+1, (1-7)
(ii) U-xn+1eCr(Tn+1),
(iii) dXn+1U > 0.
Здесь уравнение (1.7) (i) уже не имеет эллиптический тип, а является
вырожденным. Это уравнение Эйлера-Лагранжа для вырожденной вариационной
задачи
[ F(x,U,DU)dx, (1.8)
Утп+1
которая неявно зависит от а. Важным свойством этого функционала является
его инвариантность относительно сдвига хп+\ -" хп+\ + const.
Таким образом, поиск минимальных слоений для функционала (1.3) сводится к
решению дифференциального уравнения в частных производных (1.7).
Соотношение (п) можно рассматривать как граничное условие. Задача
устойчивости сводится к задаче о возмущениях для уравнения (1.7).
Предположим, что для заданного а ? и подынтегральной функции F* ? C°°(fl)
определено гладкое решение U = U* уравнения (1.7),
?(F*, 17*) =0, U*- хп+1 ? C°°{Tn+1), dXn+1U* > 0,
§ 1. Введение
267
такое, что (х, U*, DU*) принадлежит области определения 12 функции F*.
Пусть F близко к F* в С-топологии. Мы ищем решение уравнения (1.7), в
котором а такое же, a \TJ - U*\c1 достаточно малое, так что dXjl+JJ > 0 и
(ж, U, DU) ? 12. В этом случае решение U определяет при помощи (1.6)
слоение, которое отвечает тому же вектору а, а потому является
сопряженным к невозмущенному слоению.
(с) Чтобы сформулировать наш основной результат, мы наложим на вектор а
диофантово условие. Потребуем существование положительных констант т, у
таких, чтобы неравенство
П
^ 7(l + in+i)_T (1-9)
V = 1
выполнялось для всех j = (ji, ... , jn, jn+i) ? Zra+1 \ (0). Это условие
похоже на (1.1); на самом деле, при ап+1 = -1 и |а| ^ с эти условия
эквивалентны с различными константами (см. [17]). Для т > ^ и для почти
всех а существует константа у такая, что выполнено (1.9) (см., например,
[22]). Для простоты мы будем выбирать т целым.
Следующая теорема утверждает, что решения уравнения (1.7) существуют,
если известно приближенное решение U*. Предположим, что для некоторых М >
0 и а ? N выполнены соотношения
U*x-xn+1 ? Са(Тп+1),
\и* - хп+1\с"^ м, дХп+1и*>М~\ (1.10)
(ж, U*(x), DU*(x)) ? 12 для всех ж ? Тп+1
и |?(.F, U*)\CT мало.
Теорема 1. Пусть заданы функция F ? С°° (12) и вектор а ? Ж(tm),
удовлетворяющий условию (1.9). Мы можем найти положительные целые числа а
= а(п, т), Ъ = Ъ(п, т), для которых выполнимо следующее свойство. Для
любых е > 0, М >0 найдется 8, зависящее от п, т, 7, е, М и от верхних
границ для |а| и для \F|сь(о) такое, что если U* удовлетворяет условиям
(1.10) и
|?(F, U*)\Cr < 8, (1.11)
то существует точное решение U уравнения (1.7) такое, что
\U - U*\C2 < ?, U*-xn+1 &С°°(Тп+1). (1.12)
