КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Стандартный пример такого типа - число
а = |(л/5 - 1),
разложение которого в непрерывную дробь состоит из одних единиц. В работе
Эсканде, с помощью продолжения орбит, приведены численные свидетельства,
что при Л ~ Л* = 0,169 инвариантные торы распадаются. С другой стороны,
Челлетти и Кьёркиа построили инвариантные торы аналитически и показали
существование гладких торов с числом вращения а при |А| ^ 0,069. Эти два
числа по-прежнему достаточно отдалены друг от друга, но необходимо
помнить, что более ранние попытки давали различие около 10 порядков
величины между значениями А, для которых существование инвариантных торов
может быть установлено, и между теми, для которых наблюдается распад.
в) Вернемся к вопросу о динамической устойчивости для (7.2),
обсуждавшейся в § 3. Нас интересовал вопрос, может ли для какого-нибудь
решения (7.2) производная |ж(?)| быть неограниченной? В действительности,
это не так, и чтобы показать, что все решения имеют ограниченные
производные, достаточно построить инвариантные торы для произвольно
больших чисел вращения. Можно предположить, что А = 1 и, прибавив
некоторую функции, зависящую только от t,
Глава 3
249
можно получить
1
/v(i, *)* = ",
о
поэтому существует периодичная функция W?C°°(T2) и V=Wx(t,x).
Оказывается, что функция
u°(t, в) =e + a~2W(t, в)
является приближенным решением нашего уравнения (7.3) при Л = 1 и
большого |а|. Это становится ясным, если заменить дифференциальный
оператор dt + адд на адд и заметить, что
a2d2gU° = Vx(t, в).
Если также выбрать а так, чтобы выполнялось диофантово условие, например,
ат = ао + т, т ? Z, где ао - фиксированное число такого типа, скажем,
тогда можно сделать вывод, что дифферен-
циальное уравнение (7.3) имеет гладкое решение для достаточно большого т.
(Я хотел бы поблагодарить Л.Кьёркиа за дискуссии по этому вопросу.)
Такое решение приводит к инвариантному тору вида (7.4). Исключив в,
получим инвариантный тор вида
х = ф(Ь, х),
где ф = ат + о(1) -s- оо при т -S- оо.
Эти торы определяют границы для х при всех t ? I для любого произвольного
решения х = x(t) уравнения (7.2). Для заданного решения выберем ат
настолько большое, что ж(0) ^ min фф, х). Тогда
t, X
x(t) ф тахф(Ь, х) для всех t.
t, X
г) Для подынтегральных выражений вида (7.1) достаточно легко построить
такие потенциалы V, что для |А| ^ \*(А) не существует гладких
инвариантных слоений для числа вращения а, где |а| ^ А, (см. [18]).
Просто построим потенциалы V с носителем в маленькой окрестности,
содержащей шар, в котором V ф 1, следовательно, произведение АУ ^ А
является большим при больших А. Поэтому минималь
250
Минимальные слоения на торе
не будет проходить через такой шар, т. к. можно уменьшить вариационный
функционал, обходя это препятствие. Такая же идея лежит в основе
контрпримера Бангерта [2], который, однако, требует нетривиальных оценок,
не зависящих от Л для минималей в компактной области вне носителя V.
Отметим, что эти примеры гарантируют для любого фиксированного А А*(Л)
разрушение всех гладких слоений только для |а| ^ А, а не для всех а.
Ранее сделанное замечание в) показывает, что для этих примеров такого
разрушения не следует ожидать, т.к. для любого заданного А существуют
гладкие минимальные слоения для достаточно больших а. Это сильно
отличается от случая разностного уравнения
Xi-j-i 2Xi Xi - i - АРж(^г)? (^'^)
где V = V(x) имеет период 1. Например, если V(x) = - ^-cos27ra;, можно
показать (см. [22]), что разностное уравнение
U(в + а)~ 2U(в) + U(в - а) = A sin(27rU{6))
имеет монотонное решение U(6), удовлетворяющее U(6 + l) = U(6) +1,
о
которое терпит разрыв при А > А* = независимо от значения а. Это
07Г
разностное уравнение связано с особым монотонным закручивающим
отображением, так называемым стандартным отображением. Это замечание
показывает что, несмотря на то, что разностное уравнение (7.5) кажется
похожим на дифференциальное уравнение (7.2), они демонстрируют различное
поведение при больших частотах а.
Глава 4 Альтернативный подход § 8. Регуляризованная вариационная задача
а) В § 5 мы убедились, что любое минимальное слоение, листы которого
являются графиками, может быть описана функцией U= = U(x, в),
удовлетворяющей дифференциальному уравнению в частных производных (5.9)
для некоторого вектора а ? М", а также условию
Глава 4
251
периодичности (5.3) и условию монотонности по в. Сейчас мы рассмотрим
нахождение такой функции U как аналитическую задачу, отдельно от ее связи
со слоениями и опишем непосредственное построение U, основанное на
регуляризованной вариационной задаче.
Отметим, что уравнения (5.9) можно рассматривать как уравнения Эйлера
задачи
где Q = [0, 1]га+1 и ?)" = dXv + avdg. Это интеграл на (п + 1)-мерном
кубе, и хотя F удовлетворяет условию Лежандра для вариационной задачи
(1.7), условию Лежандра для (8.1) она не удовлетворяет. Поэтому эта
задача вырождается. Вторая трудность, связанная с (8.1), заключается в
