Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 80

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 136 >> Следующая

том, что мы требует монотонность экстремали по 0; это затрудняет вывод
уравнений Эйлера для экстремалей. Обе эти трудности преодолеваются с
помощью аппроксимации (8.1) невырожденной вариационной задачей
которая при е > 0 имеет гладкие минимали, удовлетворяющие
условиям периодичности (5.3), они автоматически строго монотонны по в.
Нужные решения (5.9) будут получены при вычислении предела при е ф 0. При
взятии предела возможна потеря регулярности и мы снова приходим к двум
случаям А) или В), в зависимости от того, непрерывная или нет предельная
функция. Эти случаи не различаются при данной процедуре, которая работает
при произвольном а ? М(tm).
б) Сначала мы обсудим вопросы существования и регулярности для задачи
(8.1) и положим более обобщенно
(8.1)
Q
(8.2)
Q
(8.3)
Q
где в примере, упомянутом ранее,
G(x, р) = |р2п+1 + F(x, р),
Dv - $xv Н- Dn^. 1 - D - (^i5 D2j • * • ^ Dn-|-i)*
252 Минимальные слоения на торе
Однако, в более общем смысле, можно предположить, что G ? С2, ,7(Х,га+1 х
Mn+1) удовлетворяет условию Лежандра по р и условию квадратичного роста
по р, по аналогии с (1.8). Для ? > 0 функция G задачи (8.3) удовлетворяет
этим условиям, хотя и не равномерно, при ? -У 0.
Для J(U) рассмотрим пространство допустимых функций
А = {U | U(x, в)-в ? Я1'2^1)}
и минимизируем J по U ? А. По условию квадратичного роста J определено на
Ли полунепрерывно снизу по условию Лежандра. Отметим, что и0 = в
принадлежит А и
J(U°) = j G(x, e,a)dxd6 = ci.
Q
Таким образом, А ф 0.
Стандартное доказательство из теории вариационного исчисления показывает,
что min J(U) находится в А.
Далее существенным будет то, что функционал J инвариантен относительно
переносов U(x, 9)^U(x, 0+const). В частности, поскольку U(x, в + 1) -
U(x, в) = 1, получим
/(№,* + ,) -?/(*,")) = ,
Q
и можно нормализовать U так, что
Ju{x,e)dxd0 = 0. (8.4)
Q
Для нормализованной таким образом минимали получим оценку для f(U2 +
\VU\2)dxde.
Q
Используя метод Джиаквинты и Джиусти, можно установить поточечные границы
и регулярность минимали f/ 6 С2, удовлетворяющей уравнениям Эйлера
П+1
Y, DvGPv (х, и, DU) = GXn+1(x, и, DU). (8.5)
Я = 1
Глава 4
253
Предложение 8.1. При вышеупомянутых предположениях на G функционал J(U)
достигает минимума в Л на функции U ? С2, удовлетворяющей уравнению
Эйлера. Если U = U(x, 6) - минималь, то U(x, в + s) также является
минималью.
Предложение 8.2. Если Ui, U2 - два С2-решения уравнения Эйлера (8.5), и
Ui ^ U2 в открытой связной области 12, тогда либо U±< U2 в 12, либо U\ =
U2 в 12.
Предложение 8.3. Если снова U±, U2 € А - два С2-решения уравнения Эйлера
(8.5), то существует константа s такая, что
U2(x, в) = Ui(x,0 + a),
т. е. эти решения в А П С2 единственны с точностью до переноса.
Предложение 8.4. Любое решение уравнения Эйлера U ? АПС2
ОТ 7
строго монотонно и > 0.
оо
Предложение 8.1 уже обсуждалось, а предложения 8.2-8.4 являются
следствиями принципа максимума. В самом деле, поскольку U1-U2 может
рассматриваться как решение эллиптического дифференциального уравнения в
частных производных, оно не может достигать максимума в открытой связной
области, что доказывает предложение 8.2. Чтобы доказать предложение 8.3,
положим
f(s) = min(t/i(a:, в + s) - f/г (ж, в)), х, 9
Т. к. Ui (х, 6 + 1) = Ui (х, в) +1 для Ui ? А, заметим, что /(+оо) = +оо,
/(-оо) = -оо, и поскольку f непрерывна, то существует s* с f(s*) = = 0.
Применение предложения 8.2 к Ui(x, 6 + s*) Е/г(ж, 6) доказывает
предложение 8.3.
Наконец, чтобы доказать предложение 8.4, рассмотрим
g(s) = min(U{x, 6 + s) -U(x, 6)).
x, 9
Утверждается, что g'(s) ^ 0 для s ^ 0, что влечет монотонность U.
Действительно, иначе получим g(s) < 0 для некоторого положительного s, и
т. к. снова g'(-l-oo) = +00, то найдется положительное s*
254
Минимальные слоения на торе
такое, что g(s*) = 0. Применяя предложение 8.2 к U(x, 6+s*) ^ U(x, в),
получим
U(x, в + s*) = U(x, в) для некоторых s* > 0.
Из этого следует периодичность U, что противоречит неограниченности:
U(x, в + т) = U(x, в) + т, т ? Ъ.
Следовательно, U монотонно и Ug(x, в) 0. Дифференцируя (8.5) по в,
получим эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных
для Ug, и по принципу максимума либо Ug > 0, либо Ug ф 0. Последний
случай исключается из-за неограниченности U.
Эти простые следствия принципа максимума и инвариантности J относительно
переносов 0-^0 + const приводят к следующим очевидным выводам: минималь
функционала J в А является единственной с точностью до переносов.
Фактически, J не имеет других локально ограниченных экстремалей, т. е. не
существует других слабых решений (8.5) в А, которые локально ограничены.
На самом деле известно (см. [12], [9]), что все локально ограниченные
экстремали регулярны, т. е. они являются С2-решениями, но представляется
возможным, что (8.5) имеет слабые решения в А, которые не являются
локально ограниченными1. С другой стороны, все минимали принадлежат
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed