КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
голономии, которая в нашем случае является конечнопорожден-ной группой
коммутирующих диффеоморфизмов окружности. Действительно, для слоения
коразмерности один, заданного параллельными гиперповерхностями на Td в
начале статьи, этот критерий гласит, что любая С^-метрика, определенная
на листах, может быть продолжена до метрики на Td такой, что листы
являются минимальными гиперповерхностями в точности, если выполнено
диофантово условие (1.1). В работе [6] были изучены другие действия
окружности.
§ 1. Введение
271
В этих работах ищется слоение и имеется метрика такая, что листы являются
минимумами относительно этой метрики. Здесь же нас интересует обратная
задача: определить по заданной метрике минимальное слоение из некоторого
класса сопряженности. В отличие от тех работ, которые имеют дело со
слоениями произвольной размерности q и произвольными многообразиями М, мы
ограничимся частным случаем, а именно, <7=1, M=Td, и будем рассматривать
только малые возмущения метрики. С аналитической точки зрения наша задача
нелинейная, а вышеупомянутая задача продолжения линейная. Однако следует
отметить, что существует тесная связь между этими проблемами, поскольку
разрешимость линеаризованного уравнения в нашей задаче имеет отношение к
задаче продолжения метрики, заданной на листах. Можно ожидать, что
минимальное слоение коразмерности один на компактном многообразии М будет
устойчивым, всякий раз когда имеется свойство продолжения, т. е. любую
метрику на листах можно продолжить на М, так что листы станут минимумами,
для тора Td это действительно выполнено; мы надеемся вернуться к этому
вопросу в будущем.
К сожалению, термин "устойчивость слоения" может ввести в заблуждение,
поскольку он был использован Раммлером [20] в несколько ином смысле, в
котором он применим только к компактным слоениям. Мы имеем в виду понятие
структурной устойчивости динамических систем, т. е. устойчивость
минимального слоения означает здесь, что при малых возмущениях метрики
имеется сохранение слоения в том же классе эквивалентности.
(f) Теорему 1 можно рассматривать в контексте предыдущей статьи [16], в
которой были построены обобщенные решения вырожденного дифференциального
уравнения в частных производных эллиптического типа при определенных
ограничениях на квадратичный рост функции F. Эти обобщенные решения
обычно разрывные; Бангерт [1] в явном виде построил примеры,
иллюстрирующие их разрывное поведение. В этом контексте вышеприведенный
результат можно рассматривать как теорему регулярности для этих решений,
при дополнительных предположениях, а именно, диофантовом условии (1.9) и
условии малости (1.11). Обзор этих задач и их связь с гамильтоновой
механикой, в частности, с теорией Обри (Aubry) и Мезера (Mather), можно
найти в работах [3], [17], [12].
Эта теорема является в чистом виде распространением теории возмущений
инвариантных торов для гамильтоновых систем на диффе-
272
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
ренциальные уравнения в частных производных эллиптического типа.
Действительно, для п = 1 она совпадает с теоремой о сохранении
инвариантных торов на некоторой изоэнергетической поверхности для систем
с двумя степенями свободы, слоение соответствует двумерному тору
(ж, в) ->¦ (ж, U(ж, в), DU(ж, в))
в трехмерном фазовом пространстве.
Мы отметим, что традиционное доказательство этих результатов основывается
на теории преобразований, т. е. на использовании канонических
преобразований. Поскольку для дифференциальных уравнений в частных
производных канонические преобразования по существу определяются
продолжением точечных преобразований [19], мы вынуждены отказаться от
такого способа. Мы действительно можем без него обойтись, последующее
доказательство, основанное на изучении уравнений Эйлера в
конфигурационном пространстве (вместо гамильтоновых уравнений в фазовом
пространстве), в известном смысле, значительно проще, чем ранние
доказательства, по крайней мере, применительно к обыкновенным
дифференциальным уравнениям. Тем не менее, основная идея - использование
быстро сходящегося итерационального метода - остается той же самой. Для
гамильтоновых систем с более чем двумя степенями свободы появляется
дополнительная сложность из-за некоммутативности матриц. Недавно Саламон
(Salamon) и Цен-дер (Zehnder) [21] нашли изящный способ преодоления этой
сложности и, таким образом, получили простое доказательство теоремы об
инвариантных торах для гамильтоновых систем с п степенями свободы.
Для дифференциальных уравнений в частных производных можно также свести
эту задачу к решению линейных, но вырожденных дифференциальных уравнений.
Сложности, которые появляются при решении таких уравнений, включая малые
знаменатели, можно преодолеть с помощью приема, который использовал С. М.
Козлов при изучении линейной задачи о собственных значениях [10].
Дифференциальные уравнения можно записать в таком виде, который содержит
