КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
фундаментальным для этой теории, потому что он с каждым а € М(tm) \ Qn
связывает выделенное множество минималей, которое тем самым имеет
геометрический смысл. Оно является аналогом множества Обри-Мезера для
монотонных закручивающих отображений.
Теорема 5.1 (В. Бангерт). Если а € R"/Qn и и, v € Ша, то
ш1ес(и) = mtec(v).
Интересное доказательство этой теоремы находится в [3].
Исходя из вышеизложенного, обозначим это множество через (r)1(tm)с. Так как
оно является минимальным, замкнутым, инвариантным относительно действия
группы подмножеством в Ш(и), то Ш(tm)0 можно охарактеризовать так же, как
минимальное замкнутое инвариантное подмножество Ша. Отсюда вытекает
Следствие 5.2. При а 6 \ Qn у множества Ша существу-
ет единственное минимальное замкнутое инвариантное подмножество Ж(tm)с.
236
Минимальные слоения на торе
Для рациональных а логично и непротиворечиво определить
(r)С = "СГ для ае<у
(см. (4.9)). Для случая п = 1 9ДРег состоит из множества периодических
орбит минимального периода.
Заметим, что в общем случае, когда ад, аг, • • • , ctn, - 1 рационально
независимы, из теоремы 5.1 следует, что для данного а?М существует не
более одного и € Ша с н(0) = а (см. [3]). Таким образом, возникает
необычная ситуация, когда минималь однозначно определяется
асимптотическим поведением, заданным через а, и значением в единственной
точке, заданным через а. Это напоминает теорему Лиувилля для
гармонических функций.
Очевидно, что элементы (r)1^ес могут быть аппроксимированы в С^-топологии
периодическими минималями. В самом деле, если а иррациональное, то
некоторые и € Ша могут быть так аппроксимированы. Это основа
доказательства теоремы 4.7. Таким образом, каждый перенос элемента tju
может быть аппроксимирован таким же способом, а следовательно и каждый
элемент замыкания орбиты Ш(и), которая содержит (r)1(tm)с. Следовательно,
замыкание ( (J ЯДР") э (J(r)C := (r)Тес- (5.2)
рв Q" а
Можно предположить, что обе части равны, т. е. множество возвратных
минималей является замыканием периодических минималей, но это не было
доказано.
Это утверждение соответствует аналогичному утверждению для монотонных
закручивающих отображений о том, что инвариантные кривые или множества
Мезера лежат в замыкании множества минимальных периодических орбит.
в) Аналитическое описание ЗСД(и). Предположим, что а не является
рациональным вектором, и пусть и € Ша. Тогда орбита {tju} вполне
упорядочена. Фактически из (4.3) мы приходим к заключению, что
tju0 > и0 =>¦ tju > и,
где н0 = (а, х). (Однако tjUo = щ не всегда влечет tjh = и !) Чтобы
упростить обсуждение, предположим, что ад, "2? • • • , ап, - 1
рационально независимы, так что tjUq = Щ имеет место только при j = 0.
Глава 2
237
В этом случае ранее упомянутое отношение показывает, что соотношение (j,
а) = (j, а) - jn+i ->¦ и(х + j) - jn+i монотонно. Определим монотонную
функцию U(x, в) условием
U(x, в) = и(х + j) - jn+1, если в = (а, х) + (j, а)
или
U(x, TjU0) = TjU.
Для каждого х 6 функция U определена на плотном множестве и строго
монотонна по в. Кроме того, мы имеем
{U(x + ev,e) = U{x,6), {v = 1, ... ,п),
\и(х,в + 1) =U(x, 0) + 1. 1 ' '
Можно расширить область определения U на всё Мга+1, используя мо-
нотонность:
и+(х, в) = limUix, Bs), U~(x, в) = lim U(x, в a),
еле
(5.4)
где 6S соответствует значениям, где U определено. Тогда для каждого ж ?
U+ = U~ для всех, кроме счетного числа в, в которых U+ и U~ терпят
разрыв. В любом случае U~ ^ U ^ U+ и U+ = U~ почти везде. Существует два
случая.
A) U+ = U~ для всех х, в, т. е. они определяют непрерывную функцию U =
U(x, в), и отображение
(ж, в) -> (ж, U(x, в)) (5.5)
определяет гомеоморфизм тора Тп+1, переводящий слоение
в = (а, ж) + /3 в искомое минимальное слоение
хп+1 = U(x, ах + /3).
В этом случае каждый лист плотен на торе и Ш(tm)0 = Ша.
238
Минимальные слоения на торе
В) U+ ф U~, т. е. для фиксированного ж множество в, для которых U~(x,
в) < U+(x, в) непустое; это счетное множество. Например, для х = 0 это
множество является объединением открытых интервалов
U(?/-(0, вт)), 17+(О, вт)), (5.6)
т
где вт - все точки разрыва ?/+, U~. Это дополнение канторова множества.
Минимали, проходящие через это канторово множество, задаются выражением
и(х) = U±(x, (а, х) + в), в ? М. (5-7)
И снова все эти минимали являются очевидно рекуррентными и, в
соответствии с теоремой 5.1 Бангерта, все элементы заданы выражением
(5.7) и дополнением к (5.6) является множество 5дес, определенное (5.1).
В случае А) все графики минималей и, и ? Ша = Шг^с плотны на торе и
определяют слоение. В случае В) график и не является плотным на торе для
любого и ? они формируют листы ламинации, ко-
торую можно представить как семейство листов, покрывающее только часть
тора, а именно дополнение множества дыр
[J{S ? Mra+1, U~(x, (а, х) + 6т) < хп+1 < 77+(ж, (а, х) + вт)}. (5.8)
т
Заметим, что ширина такой дыры
dm{x) = н+(ж) - и^(х); и* (ж) = 7/±(ж, (а, ж) + вт)
