Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 87

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 136 >> Следующая

только дифференциальные операторы Di, Л2, • • • , Dn уравнения (1.7), это
приводит к довольно простым априорным Х2-оценкам. Короче говоря, после
этих предварительных преобразований теорему 1 можно доказать с помощью
обычного итерационального метода, работая с Соболевскими нормами (включая
отрицательные) вместо гёльдеровских. Далее мы при-
§2. Регуляриэованная вариационная задача
273
держиваемся подхода, изложенного в [15], несмотря на то, что он дает
довольно грубые результаты. В работе [15] также используются Соболевские
оценки и выписаны необходимые оценки для норм. Тем не менее, из наших
рассуждений видно, что этот результат можно получить из абстрактной
теоремы о неявной функции, как это сделал Цендер [24].
В следующем параграфе мы представим (1.7) в регуляризованном виде и
сформулируем обобщение теоремы 1 в этом случае. В § 3 мы получим оценки
для линеаризованного уравнения. Читателю, знакомому с этими методами из
результатов § 3 будет понятно, как действовать
дальше. Для полноты мы приведем детали доказательства в § 4.
§ 2. Регуляриэованная вариационная задача
(а) Вариационная задача (1.8), как уже было упомянуто ранее, является
вырожденной; заменим ее невырожденной задачей
Ja(U) = [ G(x,U,DU)dx, (2.1)
JTn +1
где
G(x, р) = |va0(x)p2n+1 + F(x, p), (2.2)
D - (-^1? -^2? • * • 5 Dn-\-1)? &1/ - $xu H- OLi/дxn + n -^n+1 -
Если v > 0 и ао(х) ^ 1, то выполнено условие Лежандра
п+1 п
53 ^ 53 (2-3)
Д,А=1 Д=1
Вариационную задачу можно использовать для построения минимумов U = U(x,
v), которые зависят от v. Наша цель - установить оценки для решений
уравнений Эйлера
vDn+1{a0{x,U)Dn+1U) - (f)a0,Xn+1(Dn+1U)2 + ?a(F,U) = 0, (2.4)
не зависящие от v 6 (0, 1]. Хотя эта регуляризация не является
действительно необходимой для последующего доказательства, она удобна и,
кроме того, дает более сильный результат. Но главным образом этот
274
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
подход сводит задачу к установлению не зависящих от v оценок и отделяет
ее от вопроса о существовании.
Отметим, что вариационная задача (2.1) также инвариантна относительно
сдвига xn+i -" xn+i + const, поэтому U(x + Aen+i) так же как и U(x)
является решением (2.4). С другой стороны, с точностью до этого сдвига
решение уравнения (2.4), такое, что U - xn+i имеет период 1 по всем
переменным, единственно.
Теорема 2. Если Ui, U2 - решения уравнения (2.4) с v > 0, такие,
что
Ui(x)-xn+1eC2(Tn+1), i = 1,2, то существует А* ? I такое, что
U2(x) = U^x + X* еп+1).
Доказательство. Этот результат следует из принципа максимума для
уравнений эллиптического типа. Поскольку
Ui(x + Аега+1) = Ui(x) + А, если А целое,
то очевидно, что непрерывная функция
/(А) = min (Ui(x+ Xen+i) - U2(x)) xE T" + !
удовлетворяет условиям J(+oo) = +00, /(-00) = -00, и поэтому мы можем
найти А* такое, что /(А*) = 0. Функция
ад = Ux(x + Х*еп+1) - U2(x) ^ 0
обращается в нуль и является решением дифференциального уравнения
эллиптического типа, которое получается из (2.4), если взять разность
между U = Ui(x + \*en+i) и U = U2(x). Поскольку Z(x) ^0 достигает
минимума, равного 0 во внутренности, отсюда следует, что Z = 0.
(Ь) Свойство преобразования. Как было указано в §1, функция V такая,
что V(x) - хп+\ 6 С'1(Тга+1) и dXn+1V > 0, определяет диффеоморфизм
х (х, V(x))
тора Тп+1 на себя. Мы используем это замечание и преобразуем U = = U(x) в
V(х, U(x)) (вместо того, чтобы преобразовывать независимые
§2. Регуляризованная вариационная задача 275
переменные). Тогда функционал "/? отображается в другой функционал с
подынтегральной функцией G о ipv, где
(pv ¦ (х, хп+1, р, Pn+i) (х, V(х), Vx + VXn+1p, VXn+1pn+1) (2.5)
- это продолженное отображение. Эти отображения, очевидно, образуют
группу,где
(pw о (ру = (fiw*v, W * V = W (ж, V(x)).
Единичный элемент соответствует функции У (ж) = хп+\.
Выражение Эйлера-Лагранжа для будет обозначено как
П+1
?a(G, U) = ? D^GpAx, и> DU) - Gu(x, U, DU) =
Д=1
= vDn+i (яо(ж, U)Dn+iU) - (j^jaoyXn+1(Dn+iU)2 + ?a(F, U).
(2.6)
Тогда преобразование (2.5) переводит выражение Эйлера-Лагранжа
?a(G, U) ->• ?a(G, У * Е/)Уж"+1 = ?a(G о t/).
Это легко получить, если взять в качестве ?(G, U) первую вариацию
функционала (2.1). Данное преобразование сохраняет класс подынтегральных
функций (2.2). Оно переводит G = G(x, р) в
G(x, р) = G oipv = 11за0(х)р2п+1 + F о ipv,
а0(х) = а0(х, V(x))VXn+1, (2-7)
(*рцрх{х1 р) = (GPllPx о <pv)VXn+1.
Это преобразование можно использовать для того, чтобы заменить
приближенное решение U* уравнения ?a(G, U*) ~ 0 на U* = xn+i, полагая V =
U*. Эта замена не является необходимой для последующего доказательства,
однако вышеупомянутое свойство преобразования будет полезным для
понимания конструкции, описанной в следующем параграфе, в частности,
тождество (3.2).
276 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
(c) Из того, что функционал "/? инвариантен относительно сдвига xn+i ->
xn+i + е, следует, что для любой функции U такой, что U - xn+i €
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed