КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
следовательно, 8(j) если |j|2 2\a\2j2+1 + 1, так что в этом
слу-
чае неравенство доказано при 7 ^ 2. Но в оставшемся случае |j|2 ^ ^
2|a|2j2+1 +1 получим
|J|2 ^ (2|сс|2 + l)i2+i. + 1 ^ 2|a|2(j2+1 + 1),
Глава 3
245
следовательно
S(J) ^ со1(2|а|2(1+Л+1)) т,
что и требовалось доказать.
д) В основе теоремы 6.1 лежат очень ограничивающие предположения: а)
диофантово условие (6.3), 0) условие малости |А|. Покажем, что оба эти
условия необходимы.
Мезер в [14] получил результат для монотонных закручивающих отображений,
который может быть переформулирован в следующее утверждение для
минимальных слоений на Т2, т. е. для п = 1. В этом случае в условиях
требуются константы 7, т такие, что
для всех рациональных чисел p/q. Число а, для которого таких констант не
существует называется числом Лиувилля. Они характеризуются следующим
свойством: для любых больших чисел 7, т существует рациональное число p/q
такое, что
Числа Лиувилля образуют множество нулевой меры.
Результат Мезера имеет следующий вид: если F° ? С00 (12) удовлетворяет
ранее упомянутым гипотезам и обладает гладким слоением F0
(удовлетворяющим также (6.3)) с числом вращения а, которое является
числом Лиувилля, тогда любая С^-окрестность 91 = 91 (F0) содержит F С 91,
не допускающее гладкого слоения при этом а.
Другими словами, диофантово условие является необходимым для теоремы 6.2.
Что касается условия малости |А|, то в § 2 уже упоминался пример (2.3),
для которого Бенгерт доказал, что не существует минимальных гладких
слоений при |А| > А* (Л) с вектором вращения а, |а| ^ А.
Таким образом, в этом примере имеем минимальное слоение Тх(а) для
достаточно малого |А|, всегда предполагая выполненным (6.3), но
\qa-p\ 0j1qT
О < |qa - р\ < 7 1g т.
Примером числа Лиувилля является
ОО
246
Минимальные слоения на торе
для некоторого критического значения Л слоение разрушается, переходя в
"ламинацию", и дыры плотно располагаются на торе. Аналитически это
значит, что решение U = Ux(x, в), описывающее Тх(а), является гладким для
малых значений |А|, но становится разрывным после некоторого критического
значения.
е) Более тривиальной причиной существования гладких слоений могут быть
симметрии вариационной задачи. Если, например,
О
тт Fix, р) = 0, то вариационная задача инвариантна при перено-
охп+1
сах xn+i -"• xn+i + const, и если и(х) - какая-нибудь минималь, тогда
и(х) + const тоже является минималью. Тогда слоение определяется функцией
U(x, в) = в + и(х), которая, очевидно, непрерывна.
О
Аналогично, если --F = 0, то при минимальной и(х), и(х + sei) их 1
тоже минимальна. Чтобы доказать, что хп+\ = и(х + sei) определяет
слоение, достаточно доказать следующее
Предложение 6.4. Если и ? Ша и
=0, а\ф 0,
их 1
то
ди . п
а 1 -р:- > U.
ОХ\
Доказательство. Можно предположить, что ад > 0. Если
min < 0,
ОХ\
то можно заключить из
и(х + sei) - и(х)
->• "1 ДЛЯ S ^ оо,
-У Для s -у 0, (6'7)
иХ\
существование такого s , что
f(s) = min(s(x + sei) - и(х)) = 0 для s = s*.
Глава 3
247
Принцип максимума (предложение 4.4) влечет, что и(х + s*ei) = и(х), что
противоречит (6.7). Следовательно, иХ1 ^ 0, и снова, исходя из принципа
максимума, получим, что иХ1 >0. ¦
Эти утверждения можно обобщить.
Теорема 6.5. Если 7 ? Mn+1 и
F(x + S7, р) = F(x, р) для всех sgl
и
(а, 7) ф 0, а = (а, -1), то любое и ? Ша порождает минимальное слоение,
заданное функцией
хп+1 = и(х + sj) - s7"+1, s ? М.
В этой теореме предполагается, что 7 является рациональным вектором, т.
к., в противном случае, F должно быть независимо от х, т. е. F = F(p). В
этом случае единственные минимальные слоения задаются параллельными
гиперплоскостями.
§ 7. Задача из механики
а) В этом параграфе обсуждается особый случай п = 1, когда
F(t, х, х) = |ж2 +\V(t, х), VeC°°(T2). (7.1)
Здесь мы будем пользоваться обозначениями из механики, заменив х, и на t,
х. Уравнение Эйлера имеет вид
x = XVx(t,x). (7.2)
Исходя из теоремы 6.1, для любого диофантова числа а существует гладкое
минимальное слоение с числом вращения а, если |А| достаточно мал. Другими
словами, существует гладкое решение U дифференциального уравнения
(dt + adefU = \Vx{t, U) (7.3)
с U(t, в) - в периода 1 по обеим переменным и Ug > 0.
248
Минимальные слоения на торе
Как обсуждалось в § 3, такое слоение приводит к инвариантному тору
x = U(t,6), х = р = (dt + adg)U(t, в) (7.4)
в трехмерном фазовом пространстве. Из-за большой важности этих торов для
теории устойчивости были проведены численные исследования для вычисления
таких инвариантных торов и получения реальных оценок критических значений
Л, при которых такой тор распадается. Кратко опишем результат одной из
таких попыток.
б) В численной работе Эсканде (ссылка, приведена в работе [5]) изучалась
потенциальная функция
V(t, х) = ^"{cos(27ra;) + cos(27r(a; - ?))}.
Ожидается, что инвариантные торы сохранятся для относительно больших Л,
если число вращения а плохо аппроксимируется рациональными числами.
