КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Дифференцируя (8.6) по а" и используя то, что первая вариация Jea
обращается в ноль, получим при е > 0 формулу
-7^-Ms(a) = J FPv(x, U, DU)Ue dx d9,
Q
где U - минималь ?7(r). Отметим, что при е > 0 Uea и МЕ(а) дважды
непрерывно дифференцируемы по а. Если неявно определить функции ф"{х) с
помощью уравнения
ф"(х, U(x, в)) = DvU(x, в), которые, благодаря (8.7), вполне определены,
то получим
т^-МЕ(а) = j FPv(x, xn+i, ф) dx. (8.10)
Q
Вычисление вторых производных Ме(а) более сложно, но по формуле (8.10)
можно предположить, что Ms(a) зависит от F только через положительно
определенный гессиан Fpp. Это действительно так, и мы приведем результаты
вычислений.
Положим
П
и=1
Глава 4
259
и вычислим
п о
? "Вд
и, {1 = 1 ^
При U = Uea и
W = W(x, 6") = Ug1{D?U)
получим
П2
МЕ(а)= j U2{^(Dn+1W)2 +
п
X) Рр"Рц(х, и, ?>Е0(?" + A,W0(?" +-D^)}
Q
+
V, {1 = 1
что доказывает выпуклость М6(а) для е > 0. Фактически получена нижняя
грань
" п
D2Me(a) > 8 U2 ?(& + DVW) - 11 = 1
2 dx de >
^s(J(Ue)-2dxde) Vl2- (8-11)
Q
Это следствие неравенства Шварца
? = (^(6, + A, W) cte de} 2 "С J U2g (?" + ZW)2 cfe J Ug2 dx d0.
Подобным образом можно вывести оценку сверху для ?)|МЕ. Она вытекает из
другой формулы для этой производной, которая получена с помощью
дифференциального уравнения для W. Получим
/IV
Ul X FpvpA^ dx de ~
Q v^=1
Л n
- J Ui{l(Dn+lWf+ Fp^DvWD^w)dxdO,
U,H = 1
260
Минимальные слоения на торе
что приводит к
D\Me ^ сj U% dxd6\?\2. (8.12)
Q
Оценка (8.12) ясно показывает, что из ограниченности сверху Ug следует
ограниченность сверху D^M6.
Вычисление второй производной МЕ требует некоторых преобразований
вариационной задачи и слишком длинно, чтобы воспроизводить его в этой
работе.
Литература
[1] V. Bangert, Mather Sets for Twist Maps and Geodesic Tori, Preprint,
Bonn, 1985, Dynamics Reported vol. 1 (1988) (U. Kikchgraber and H. 0.
Walther), Wiley, pp. 1-56.
[2] V. Bangert, The existence of gaps in minimal foliations, Aequationes
math. 34 (1987), №2-3, pp. 153-166.
[3] V. Bangert, A uniqueness theorem for Zra-periodic variational
problems, Comm. Math. Helv, 62 (1987), №4, pp. 511-531.
[4] E. di Benedetto, N. S. Trudinger, Harnack Inequality for Quasi-Minima
of Variational Integrals, Annales de l'Inst. H. Poincare, Analyse Non-
Lineaire, t. 1, 1984, 295-308.
[5] A. Celletti, L. Chierchia, On a rigorous stability result for
bidimensio-nal KAM tori, Forschungsinstitut fur Mathematik, ETH Ziirich,
July 1987.
[6] J.Denzler, Mather sets for plane Hamiltonian systems, Z. Angew. Math.
Phys. 38 (1987), №6, pp. 791-812.
[7] M. Giaquinta, E. Giusti, Quasi-minima, Ann. de l'Inst. Henri
Poincare, Analyse Non-Lineaire, t. 1, 1984, 79-107.
[8] M. Giaquinta, E. Giusti, Differentiability of Minima of Non-
Differenti-able Functionals, Inv. Math., t. 72, 1983, 285-298.
Литература
261
[9] М. Giaquinta, Multiple Integrals in the Calculus of Variations and
Nonlinear Elliptic Systems, Ann. Math. Studies, t. 105, Princeton, N.J.,
1983.
[10] G. A. Hedlund, Geodesics on a two-dimensional Riemannian manifold
with peroidic coefficients, Ann. Math., t. 33, 1982, 719-739.
[11] M. R. Herman, Sur les courbes invariantes par les diffeomorphismes
de l'anneau, Asterisque, 103-104, 1983, 1-221.
[12] O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Uraltseva, Linear and Quasilinear
Elliptic Equations, Acad, Press, New York and London, 1968.
[13] J.N. Mather, Existence of quasi-periodic orbits for twist homeomor-
phisms of the annulus, Topology, t. 21, 1982, 457-467.
[14] J.N.Mather, Destruction of invariant circles, Forschungsinstitut
fiir Mathematik, ETH Zurich, June 1987.
[15] M. Morse, A fundamental class of geodesics on any closed surface of
genus greater than one. Trans. Am. Math. Soc., t. 26, 1924, 25-60.
[16] J. Moser, Recent Developments in the theory of Hamiltonian Systems,
SIAM Review 28, Dec. 1986.
[17] J. Moser, Minimal solutions of variatonal problems on a torus, Ann.
Inst. Henri Poincare, Analyse Non-Lineaire, vol. 3, 1986, 229-272.
[18] J. Moser, Breakdown of stability, Lecture Notes in Physics 247,
Springer Verlag 1986, pp. 492-518.
[19] D.Salamon and E. Zehnder, KAM-theory in configuration space, to
appear in Ergodic Theory and Dynamical Systems 1988.
[20] J. Mather, Minimal Measures, Forschungsinstitut fiir Mathematik, ETH
Zurich, 1987.
[21] E. A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential
Equations, McGraw Hill 1955, especially Chap. 17.
[22] J. Mather, Nonexistence of invariant Circles, Ergodic Theory and
Dynamical Systems 4, 1984, 301-309.
ТЕОРЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ МИНИМАЛЬНЫХ СЛОЕНИЙ НА ТОРЕ1
Резюме-. Эта статья посвящена минимальным слоениям; это такие слоения,
листы которых являются экстремалями некоторой заданной вариационной
задачи. Такими, например, являются слоения, состоящие из минимальных
поверхностей. Минимальное слоение называется устойчивым, если для любого
малого возмущения вариационной задачи существует минимальное слоение,
