КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
параметра A G (-S, +S), например,
Fx = F° + AG.
Таким образом, если условие Лежандра выполняется при А = 0, то оно
выполняется и при достаточно малых |А|.
Поставим условие, что для F = F0 и данного вектора а существует гладкое
слоение, заданное гладкой функцией U = U°(x, в), такое, что
(ж, U°(ж, в), DU°) G 12 для всех (ж, в) G Тп+1,
и такое, что U0 удовлетворяет условиям (5.3), (5.9), в которых F заменено
на F0, и условию строгой монотонности
> 0. (6.2)
Нам требуется гладкое _РА-минимальное слоение с тем же вектором вращения
а, если |А| достаточно мал. Как объяснялось в §1, для этого потребуются
диофантовы условия на а, которые мы запишем в следующем виде.
242
Минимальные слоения на торе
Должны существовать положительные числа 7, т такие, что для всех j = (j,
jn+i) € Ъп+1 \ (0) выполняется неравенство
П
53 (av3n+1 + jv) ^7 (1 + in+l) • (6-3)
V=1
(Соотношение между (6.3) и (1.5) будет объяснено ниже.)
Теорема 6.1. При выполнении сформулированных выше предположений и при
достаточно малых |А| существует гладкое решение U = = Ux(x, в)
дифференциального уравнения в частных производных с F, замененной на Fx,
удовлетворяющее условию периодичности (5.3). Кроме того, Ux непрерывно
зависит от А в С°°(Тп+1)-топологии и Ux = = U° при А = 0; в частности, из
(6.2) следует, что
dUx
дв
> 0. (6.4)
Доказательство этой теоремы использует быстро сходящийся итерационный
метод, аналогичный применяемому в так называемой КАМ-теории. На самом
деле эта теорема является обобщением теоремы существования инвариантных
торов для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на
дифференциальные уравнения в частных производных. В то время, как
традиционное доказательство существования инвариантных торов использует
теорию канонических преобразований, это не возможно при доказательстве
теоремы для дифференциальных уравнений в частных производных, т. к.
аналоги канонических преобразований тривиальны. Поэтому мы должны
действовать в "конфигурационном пространстве" и применить теорему о
неявной функции непосредственно к (5.3). Этот подход приводит к
упрощенному доказательству существования инвариантных торов для п
степеней свободы, что было не так давно показано Саламоном и Цендером
[19].
в) Согласно теореме 6.1 значения А, для которых гладкие минимальные
слоения существуют при фиксированном векторе вращения а, удовлетворяющем
(6.3), образуют открытое множество. Эти слоения, которые мы обозначим Fx
= Fx, сопряжены с F0. В самом деле, если Тх задано в виде
хп+1 = Ux(x, в)-, в = (а, х) + const,
то отображение
ipx: (х, в) -? (х, Ux(x, в))
Глава 3
243
переводит F° в Fx.
Теорему 6.1 можно представить в более сильной форме: вместо того, чтобы
рассматривать однопараметрические семейства подынтегральных выражений,
можно рассмотреть С°°(Тп+1 х Г2)-окрестность F° = F°(x,p). Другими
словами, можно доказать следующую теорему.
Теорема 6.2. При предположениях теоремы 6.1 существует такая С°°(Тп+1 х
О)-окрестность 91 = 91 a(F°), что для каждого F е 91 существует решение U
= U(x, в) уравнений (5.9) и (5.3), непрерывно зависящее от F.
Слоения Тц\ xn+i=U(x, в) снова эквивалентны^70: xn+i=U(x, в) при
диффеоморфизме
Следовательно, такие слоения "устойчивы", если определить, что гладкое
слоение F0, минимальное относительно F0, является устойчивым, если для
всех F в С^-окрестности 91 этого F0 существует гладкое _Р-минимальное
слоение F, сопряженное F0. Таким образом, получим:
Следствие 6.3. При предположениях теоремы 6.1 слоение F0 устойчиво.
г) Применим эти результаты к минимальному слоению, обсуждавшемуся в §1
б). Теорема 1.1 следует из теоремы 6.2, несмотря на то, что понятие
устойчивости в § 1 отличается от используемого здесь понятия, т. к. оно
относится к более узкому классу подынтегральных выражений вида
где рп+ г = -1, D = ^/det{gvlt). В частности (в примере из § 1, б)),
Ф = 'Ри°('Р°)
где
<Рц: (х, в) н-" (ж, U(x, в)).
(6.5)
П+1
F0 = v/lTW-
244 Минимальные слоения на торе
Отметим, что эти подынтегральные выражения нарушают условие квадратичного
роста (1.8) (III), но в теореме 6.2 требуется только, чтобы F было
определено в открытой области 12, содержащей слоение F0. Можно выбрать
12 = {(ж, р) € Тп+1 х Г*, \р-а\< 6},
и условие роста является несущественным.
Заметим, что диофантово условие (6.3) фактически эквивалентно (1.5) для
вектора а с ап+1 = -1. Более точно, условие (1.5) вместе с некоторой
константой со 1 влечет
П
SQ) ¦= ^2(avjn+1 -jv)2 ^ 7_1(1 + Jn+i)~T (6-6)
1У = 1
для всех j € Zn+1 \ (0), если j = (2\а\2)тсо. Обратно, из этого
последнего условия при 7 = (2т|а|)-1Со вытекает (1.5).
Доказательство следует из неравенства
Н%) ^ X] (а"хц - амх")2 = \а\2\х\2 - (а, х)2 ^ \а\2д(х)
для всех х € En+1, которое легко проверить. Таким образом, (6.6) влечет
(1.5), если заметить, что
III2 = lil2 + in+i ^ \il+ il+i)-
С другой стороны, из (1.5) следует, что
SQ) 2 с^\]\-2т-
Сейчас заметим, что по неравенству треугольника
S(j) ^ \\j\2 - H2i2+i'
