КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет условию (1.5), то действительно существуют гладкие слоения
для малых |А|, но для больших |А| они могут распадаться или разрываться
на части, как показывают примеры. Таким образом, решения могут потерять
гладкость при изменении А. С другой стороны, независимо от величины А
существуют гладкие минимальные слоения для определенных а с достаточно
большим |а|. Таким образом, ответ на этот вопрос неочевиден, и некоторые
замечания в этом направлении будут обсуждаться в главе 3.
в) Развитие этой теории было обусловлено задачами механики, в частности,
задачами устойчивости динамических систем. Для системы с двумя степенями
свободы такая теория устойчивости основана на построении двухмерных
инвариантных торов (КАМ теория). Явление потери устойчивости связано с
разрушением инвариантных торов. Понимание этого явления было значительно
улучшено важной работой Ю. Мезера [13], который изучал дискретные
системы, итерации отображений сохраняющих площадь, называемые монотонными
закручивающими отображениями. В то же время Обри и его коллеги изучали
простые модели движения электронов в одномерном кристалле. Конфигурации с
минимальной энергией, найденные Обри, соответствуют орбитам инвариантных
множеств для монотонных закручивающих отображений, найденных Мезером (для
обзора см. [1]).
Эта теория Обри и Мезера применима лишь к двумерным отображениям или
одномерным кристаллам. И те и другие соответствуют
Глава 1
225
гамильтоновым системам с двумя степенями свободы. Попытки обобщить их
теорию на более, чем две степени свободы не удались. Однако замена
одномерных орбит гамильтоновых систем на поверхности коразмерности 1,
приводит к различным многомерным обобщениям, которые мы обсудим в этой
работе. Листы минимального слоения могут рассматриваться как минимальные
конфигурации из теории Обри, рассматриваемой на и-мерной решетке.
Связь рассмотренных выше минимальных слоений с теорией Обри и Мезера
обсуждалась в [16]. Она соответствует особому случаю п = 1, т. е. слоению
на двумерном торе. Более точно, их теория относится к дискретным
системам, в то время как здесь описывается непрерывный аналог, изученный
Д. Дензлером [6]. Поэтому мы обратимся к случаю п = 1 и обсудим отношение
минимальных слоений к простой задаче устойчивости.
§ 3. Связь с задачей устойчивости
а) Нелинейный маятник описывается дифференциальным уравнением
^f=g(t) sin^ra), (3.1)
где х - угол, изображающий положение материальной точки и g(t) -
вертикальная сила, и предположим, что она периодическая по f с периодом
1. Для постоянной функции g(t) смысл решения понятен благодаря сохранению
энергии. В этом случае все решения за исключением асимптотических орбит
(сепаратрис) периодические1, если движение рассматривается на торе Т2,
описанном с помощью (t, х) по модулю 1. В любом случае для всех решений х
= x(t) скорость x(t) ограничена для всех t 6 М. А так ли это для случая,
когда сила g(t) является периодической функцией от ??
Для наших целей назовем систему
= vx(t, х) (3.2)
с v = v(t, х) гладкой и периодической с периодом 1 по t и х (например, v
= --^-g(t) cos(27ra) для (3.1)) устойчивой, если для каждого ее
1Точнее, квазипериодические. - Прим. ред.
226
Минимальные слоения на торе
решения выполняется
sup \x(t)\ < ОС.
tGR
Устойчива ли каждая система вида (3.2) или можно ли раскачать систему
периодической силой так, что угловая скорость становится неограниченной?
Оказывается, каждая такая система устойчива в этом смысле. Как это
доказать?
Система (3.2) представляет собой уравнение Эйлера вариационной задачи
J F(t, х, х) dt, где F(t, х, р) = ^р2 + v(t, х). (3.3)
Она также может быть записана в виде гамильтоновой системы
х = Ну\ у =-Нх, где H(t, х, у) = ^у2 - v(t, х), (3.4)
которая может рассматриваться как векторное поле в трехмерном фа-
зовом пространстве Т2 х М. Ограничено ли выражение у = х при всех ??
б) достаточным условием ограниченности выражения у = y(t) для решения
является то, что оно может быть заключено между двумя инвариантными
торами, которые задаются двумя функциями wv = = wv(t, ж), v = 1, 2
периода 1 по t, х через
y = w(t,x), W=Wi,W2-
Назовем этот тор инвариантным, если векторное поле (3.4) является
касательным к нему, так что торы могут рассматриваться как множество
орбит. Если записать w как производные по х функции S = S(t, ж), т. е.
У = Sx(t, ж), (3.5)
то она определяет инвариантный тор тогда и только тогда, когда S
удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби
St +H(t, ж, Sx) = f(t)
с произвольной функцией / = f(t). Добавляя функцию от t к S (что не
изменяет w) нахождение инвариантного тора можно свести к нахождению
решения уравнения Гамильтона-Якоби1
St + H(t, х, Sx) = 0, (3.6)
1 Возможно, еще понадобится заменить Н на Н + const. - Прим. ред.
Глава 1
227
для которого Sx(t, х) имеет период 1 по t, х. Хорошо известно, как решить
уравнение Гамильтона-Якоби локально или даже как решить задачу с
начальными условиями (задачу Коши), но это краевая задача, решение
