КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
которой можно предположить, что 0 ^ ит{0) < 1, вычитая целое число, то
подпоследовательность сходится к функции и в С^-топологии. Под Сг-
топологией мы понимаем равномерную сходимость функций и их производных
вплоть до порядка г на всех компактных подмножествах М(tm). Можно легко
проверить, что предельная функция и является минималью. Кроме того, и не
имеет самопересечений. В самом деле очевидно, что для каждого j ? Zra+1
функция tju - и не меняет знак, и, учитывая предложение 4.4, применяемое
для v = tju, получаем строгое неравенство, если не верно тождество tju =
и.
Это доказательство приводит к следующей теореме, где 9Jta/Z получено из
Ша путем отождествления и с и+ (целые числа) и где ША =
= и Жа:
\а\?А
Теорема 4.6.Множество компактно относительно С0-то-
пологии. Кроме того, а = а(и) является непрерывной функцией на УЯА/Ъ в
этой топологии.
Отметим, что с учетом теоремы 4.5, последовательность ит ? ЯЛ сходится в
С°-топологии тогда и только тогда, когда она сходится в С^-топологии.
д) Перейдем к вопросу о существовании элемента в ЯЯа. Это необычная
задача, т.к. базисная область и, а именно М(tm), некомпактна и вектор а в
некотором смысле представляет граничное условие на бесконечности. Чтобы
преодолеть эти трудности, рассмотрим рациональные векторы а ? Qn. Тогда j
? Z(tm) такие, что (j, а) ? Z формируют подре-шетку конечного индекса в Z(tm),
а функции из
янг = {и ? ЯЛ" | tju = и всякий раз, когда (j, а) = 0} (4-9)
определяют график, который является подтором в Тп+1. На самом деле, и(х)
- (а, х) является периодической функцией, периоды которой состоят из
подрешетки {j ? Z(tm) | (j, а) ? Z}. Ее фундаментальная область компактна, и
можно применить стандартные вариационные методы, чтобы доказать, что
ЯЛРег ф 0 для а ? Qn.
Здесь необходимо преодолеть некоторую трудность: нужно доказать, что
функция и, минимизирующая (1.7) в фундаментальной области с указанным
ранее условием периодичности, автоматически мини-
234
Минимальные слоения на торе
мизирует (1.7) в смысле (1.11) в целом. В данном случае существенной
является скалярная природа (принцип максимума) (см. [17]). Таким образом
получим Ша ф 0 для а ? Qn.
Если а ? М(tm) произвольно, то выберем аппроксимирующую последовательность
рт ? Qn, рт -"¦ а и последовательность ит ? ШРт. Из теоремы 4.6 получим:
Теорема 4.7. Ша ф 0 для всех а ? М".
Отсюда вытекает, что (r)1Рег является в общем случае собственным
подмножеством Ша для рациональных а. Непериодичные функции и ? Ша, а ? Qn
были недавно изучены В.Бангертом. (В. Бангерт, лекция, прочитанная на
конференции по динамическим системам, Обер-волфах, май, 1987.)
§ 5. Действие группы Zn+1
а) В дальнейшем будем предполагать, что а не является рациональным
вектором, и изучим действие группы Zn+1 на Ша, заданное как
и ->¦ tju для j ? Zn+1.
Если и ? Ш, то там же лежит вся орбита, а также ее замыкание в Ша,
обозначенное ЯЛ(и). Таким образом, Ш(и) С Ша является замкнутым
инвариантным множеством относительно действия группы. Кроме того, по
предложению 4.4, Ш(и) вполне упорядочено, т. е. для v, w ? Ш(и) либо v <
w, либо v > w, либо v = w, и этот порядок сохраняется при действии
группы. Таким образом можно получить картину ситуации, рассмотрев
замкнутое множество
S0 = {ц(О) | v ? (r)Т(н)}
на вещественной оси М или на окружности М/Z. Это замкнутое множество
инвариантно относительно коммутирующих отображений fk, определенных в §
3. Для таких отображений существует единственное минимальное множество,
где "минимальный" должно пониматься в смысле динамических систем:
непустое замкнутое инвариантное множество, не имеющее собственного
подмножества с этими свойствами. Это минимальное множество состоит из
множества предельных точек So, т. е. таких точек, которые являются
предельными точками убывающей
Глава 2
235
или возрастающей последовательности So- Это минимальное множество, если
оно не совпадает с М, является канторовым множеством на М, которое часто
называют множеством Данжуа.
Подобным образом замыкание орбиты (r)Т(н) от и 6 Ша содержит единственное
минимальное множество, состоящее из функций v € Ш(и), которые являются
пределами (скажем, в С^-топологии) подпоследовательностей переносов Tjv с
(j, а) ф 0. В теории динамических систем такие орбиты называются
рекуррентными. Таким образом, обозначим это множество через ШТгес(и). Его
можно охарактеризовать следующим образом: Шгес(и) состоит из всех v €
Ш(и), которые являются пределами подпоследовательностей орбиты {tjv}, (j,
а) ф 0, или, эквивалентно, (r)Тгес(н) является единственным минимальным
замкнутым инвариантным подмножеством Ш(и) (см. Бангерт [3]). Таким
образом
Sr0ec = {"(0) \v е Шгес(и)} (5.1)
либо совпадает со всей вещественной осью, либо является канторовым
множеством, полученным из So удалением изолированных точек.
б) Недавно Бангерт [3] доказал фундаментальный факт, что множество
ШТгес(н) не зависит от выбора и 6 Ша. Этот факт, разумеется, являлся
