Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 72

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 136 >> Следующая

которой неочевидно.
Предположим, что мы нашли такое решение уравнения (3.6), а следовательно,
и инвариантный тор, тогда и проекция фазового пространства Т2 х М -"¦ Т2
на тор, которая отображает (t, х, у) на (t, х) будет переводить орбиты на
инвариантном торе в семейство кривых на (t, ж)-торе. Очевидно, что эти
кривые являются решениями системы
x = Sx(t,x), t= 1,
которые определяют слоение на тора. Поскольку они также являются
решениями уравнения Эйлера (3.2), они представляют собой минимальное
слоение. И наоборот, любое минимальное слоение на торе, заданное гладким
векторным полем
х = w(t, ж), t = 1 (3-7)
определяет инвариантный тор у = w(t, х) в фазовом пространстве.
Таким образом, инвариантные торы соответствуют минимальному слоению
рассмотренным ранее образом. Существуют традиционные обозначения: t, х, х
должны быть заменены на х, и, их. Хорошо известен результат из теории
обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [21]) о том, что с такой
системой (3.7) на Т2 можно связать число вращения а. Если а
иррационально, то решения имеют вид
х = в + p(t, в)\ в = at + const,
где р имеет период 1 по t, х. Они квазипериодические с частотами 1, а, и
частота а соответствует вектору наклона слоения, т. к. x(t) - at
ограничено.
Таким образом, чтобы решить нашу задачу устойчивости, достаточно
показать, что в любой окрестности у = оо:
Ns = {(?, х, у) еТ2 х М; \у\ > е-1}
содержится инвариантный тор. Эту процедуру можно трактовать как
нахождение минимального слоения для произвольно больших частот |а|.
228
Минимальные слоения на торе
в) Вернемся к этой задаче в главе 3. Сейчас мы хотим объяснить
соответствие понятий в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и
дифференциальных уравнений в частных производных, соответственно
изображенных в таблице:
ОДУ (п = 1) УЧП (п > 1)
орбиты инвариантный тор частота, число вращения множества Обри-Мезера
решения уравнения Эйлера минимальное слоение вектор наклона или
вектор вращения минимальные ламинации
Отметим однако, что есть существенные различия. Понятие (динамической)
устойчивости не имеет аналога для п > 1, т. к. оно основывается на задаче
с начальными условиями (задаче Коши), которая бессмысленна для
эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. Теория
канонических преобразований, основная в теории гамильтоновых систем,
также не имеет аналога для эллиптических дифференциальных уравнений в
частных производных.
г) В следующих главах будут описаны два способа построения минимальных
слоений или ламинаций для заданного вектора наклона а. В следующем
разделе мы получим обобщенное слоение, собирая вместе индивидуальные
листы. В последнем разделе опишем альтернативный подход, в котором
слоение возникает как минималь вырожденной вариационной задачи, которая
будет решена с помощью регуляризации. Некоторые результаты были
опубликованы в [17], но мы также приведем важный результат, полученный
Бенгертом [3], в котором утверждается, что для заданной вариационной
задачи и заданной о. ? Qn соответствующая ламинация определяется
однозначно.
Глава 2
Построение обобщенного минимального слоения § 4. Минимали без
самопересечений
а) В следующих двух разделах нашей целью является построение
минимального слоения путем соединения в одно целое формирующих его
листов. Эта процедура проиллюстрирована простым примером слоения из
параллельных гиперплоскостей хп+\ - (а, х) = const, которые
Глава 2
229
образуют минимальные слоения для интеграла Дирихле. Если взять один из
этих листов, скажем
Хп-\-1 - - (^5
то можно получить другие листы с помощью переносов под действием
фундаментальной группы G = Zn+1:
хп+1 =и0(х + j) - jn+1 = и0(х) + (a, j),
где а = ("1, , а", -1) и j Е G. Если а = (ад, ... , а") не рацио-
нальное, то числа (a, j), j Е G плотны в I, и в этом случае все листы
слоения аппроксимируются с помощью переносов одного из них. Это служит
примером используемой нами процедуры, за исключением того, что в общем
случае не требуется, чтобы переносы листа были плотными на торе, даже
если а не является рациональным вектором.
Сначала покажем, что с любым 2га+1-инвариантным минимальным слоением
(определение 1.2) можно связать единственный вектор наклона а Е так, что
расстояние между любым из его листов хп+\ = и(х) и гиперповерхностью хп+\
= (а, х) будет ограничено, т. е. будет выполнено (2.2). Вопрос
заключается в следующем: пусть заданы вариационная задача (1.7) и вектор
а Е Мга, тогда существует ли Е'-минимальное слоение, соответствующее
вектору наклона а?
В § 1 мы убедились, что листы такого слоения имеют два основных свойства:
они являются минималями в смысле определения 1.3 и не имеют
самопересечений на торе. Поэтому сейчас мы изучим такие ми-нимали без
самопересечений, получим априорные оценки и свойства компактности,
которые позволят нам собрать их вместе (§ 4) в минимальное слоение или
ламинацию.
б) Функции без самопересечения. В пространстве С(Шп) непрерывных
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed