КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
2. Сглаживающий оператор (см. [11]). Мы введем для функций двух
переменных сглаживающий оператор, который приближает произвольную h(x, у)
гладкими функциями. Особенность этого оператора состоит в том, что
достаточно гладкие функции h приближаются с высокой степенью точности.
Это свойство выражает лемма 2.
Пусть h(x, у) есть непрерывная функция, определенная в некоторой области,
в качестве которой возьмем полосу
егки, _ Ы = 2gin
и)к - 2ж1 2
Следовательно,
так что ряды (3.3) абсолютно сходятся и (3.2) доказано при
с = 7Г
к=1
w(x + ш,у)~ w(x, у) = h(x, у)
\Щх, у) |0 ^ § \DTxh\0
(3.4)
а < у < Ъ.
40 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
Порядок приближения по каждому из аргументов х, у будет устанавливаться
отдельно и будет измеряться двумя большими параметрами N, М > 1.
Сглаженная функция Тммк определяется в меньшей полосе
а = а+±<"<Ь-± = 13
в предположении, что 2М-1 < b - а, и задается формулой
TNMh(x, у) = JJ Xnm(x ~ х' ¦, У ~ у')Чх', У') dx'dy'. (3.5)
а<у' <Ъ
В качестве ядра Xnm возьмем функцию вида
Xnm(xi у) = Nx{Nx) • Мх(Му),
где х(х) - функция, все производные которой существуют и непрерывны и
которая удовлетворяет соотношениям
Х(х) = 0 при \х\ > 1, (3.6)
+ оо
Г , Г 1 при к = 0,
I х х(х) dx = \ (3-7)
J 1 (0 при 0 <к<1, у !
- оо
где I - фиксированное число. Таким образом, TNM зависит от I, которое
будет выбрано согласно (2.4).
Из условия (3.6) вытекает, что Xnm Равно нулю при |ж| > 7V-1 и при \у\ >
М-1. Следовательно, интегрирование в (3.5) распространяется на носитель
Xnm(x ~ x'i У ~ v')i который содержится в а < у' < Ь, так как а < у < /3.
Поэтому, если ввести новые переменные интегрирования, (3.5) можно
записать в виде
tnmKx, у) = JJ Xn(6 v)h (х- Jj, у - d?dr]. (3.8)
I"I<1
lnl<i
Из условия (3.7) следует, что полиномы р(х, у) степени, меньшей /, при
сглаживании сохраняются, т. е.
tnmP(x, У) = р(х> У)- (3-9)
§3. Разностное уравнение. Сглаживающий оператор 41
Лемма 2. Если h(x, у) непрерывна в полосе а < у < Ъ, то при
а < у < (3
\D^D^2TNMh\ ^ cpNplМр2 sup \h\ для всех pi, р2, (3.10)
а^.у^.Ь
где ср зависит от функции х и от pi, р2¦ Если h(x, у) есть I раз
непрерывно дифференцируемая функция, то при а < у < (3
\h-TNMh\^c sup N~P1M~P2 \D^Dfh\, (3.11)
PI +P2=l a<y<b
где постоянная с зависит от функции х(х), но не зависит от М, N.
Доказательство.
Справедливость (3.10) непосредственно следует из (3.5):
\DxDy2TNMh(x, у) | "S
"S sup \h\ ff {D^D^Xnm^ ~ х\ У ~ У')\ dx'dy'^
a<y<b JJ
sup \h\NplМр2 [ \DP}X(x)\dx [ \D*X(y)\dy.
a<y<b J J
1<У<Ь
Для доказательства (3.11) мы используем формулу (3.8), разложив h(x- ~
у - Т]/М) в ряд Тейлора с остаточным членом
в точке ? =
= г/ = 0 до членов порядка, меньшего чем I. Так как TNM сохраняет
полиномы степени, меньшей чем I, то (I - TNM)h определяется только
остаточным членом г;(ж, у, ?, р) функции h(x-^/N, у-р/М). Для этого члена
можно дать оценку
СР1 пр2
Iп{х, У, ?, 7j)| ^ ^sup=; NplMp2 |DxDy2Kx^ у')\,
x' ,y'
где (xf - x) < 1/iV, |yf - у| < 1/M и |?|, \r]\ < 1. Следовательно, из
(3.8) найдем
\(l-TNM)h(x, y)\^ sup N-^M-^\D^D^h{x',y')\c,
Pl+P2=l x', y'
где
c= sup ff\tplilp2x(t, v)\ d^di].
Pl+P2=l J J
Этим лемма 2 доказана. ¦
42 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
Упомянем о следующих двух примерах оценок (3.2) и (3.10). При
а < у < (3 имеем
\LTNMh{x, у) \ ^ § \DTxTNMh\0 ^ cpc^-\h\o, и если N > е, сг = т + 1, то
|LTNMh\ ^ cpcNT+1\h\0 = cpcNa \h\0 . (3.12)
Аналогично
\L2TNMh\ "С cpc2N2a\h\o. (3.13)
Напомним, что TNMh определена в меньшей области, чем сама функция h.
3. Для полноты изложения покажем, как можно построить функцию
х(х) со свойствами (3.6), (3.7). Пусть функция <р(х) принадлежит
классу С°°, равна 0 при |ж| > 1/2 и положительна при |ж| < 1/2. Тогда
можно определить I постоянных cii, ... , щ таким образом, чтобы
I
Л=1
обладала желаемыми свойствами. Постоянные ai, ... , щ находятся из
линейной системы (3.7), определитель которой не равен нулю. В самом деле,
в противном случае равняется нулю некоторая нетривиальная линейная
комбинация чисел
+ 00 +00
/,>(,-ад* =/(* + ад^М*,
- сю -сю
т. е. существует полином р(х) ф 0 степени, меньшей чем /, и такой, что
+ СЮ
J р(х + S\)(p(x) dx = 0, A = 1,...,Z.
- сю
сю
Но так как J р(х + S)(p(x) dx есть полином по 6 той же степени, что
- СЮ
и р, то он может иметь только I - 1 или меньше корней; это доказывает
утверждение.
§4. Доказательство теоремы 2
4. Доказательство теоремы 2
43
1. Построение и, и. Для доказательства теоремы 2 рассмотрим опять
отображение кольца
точнее приближающее кручение.
Мы постараемся мотивировать осуществляемое ниже построение сначала для и,
v. Формулы преобразования имеют вид
для краткости мы пишем щ = m(?i, щ), щ = d(?i, щ). Мы линеаризируем
уравнения, получающиеся при (р = ф = 0, имея в виду следующее:
рассматривая /, g, и, v и \г] - ш\ как малые величины порядка Л, отбросим
члены порядка малости Л2. Так, например, согласно этому процессу
