КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
обыкновенных дифференциальных уравнений для общего эллиптическом случае.
Доклады Академии наук СССР 137
26
Дж. Н. Мезер
(1961), стр. 255-257. Перевод на английский: Soviet Math. 2 (1961), pp.
247-249.
[6] Aubry S. and LeDaeron P. Y. The discrete Frenkel-Kantorova model and
the devil's staircase, Phys. D 7 (1983), pp. 240-258.
[7] Birkhoff G. D. Collected Mathematical Papers, Volume II, Amer. Math.
Soc., New York, 1950.
[8] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A. and Strelcyn J. M. A proof of
Kolmogorov's theorem on invariant tori using cannonical transformations
defined by the Lie method, N. Cim 79B (1984), pp. 202-223.
[9] Колмогоров A. H. О сохранении условно периодических движений для
малых возмущений функции Гамильтона. Доклады Академии наук СССР (N. S.)
98 (1954), стр. 527-530. Перевод на английский: Casati and Ford (eds),
Stochastic Behavior in Classical and Quantum Hamiltonian Systems, (Volta
Memorial Conf., Como, 1977), Lecture Notes in Phys. Vol. 93, Springer,
Berlin-New York 1979, pp. 51-56.
[10] Колмогоров A. H. Общая теория динамических систем и классическая
механика. Proc. Internat. Congr. Math. Amsterdam (1957), стр. 315-333.
Перевод на английский: Appendix D of R. Abraham, Foundations of
Mechanics, Benjamin (1967).
[11] Lazutkin V.F. and Terman D.Ya. Persival variational principle for
invariant measures and commensurate-incommensurate phase transitions in
one dimentional chains. Comm. Math. Phys. 94 (1984), pp. 511-522.
[12] Moser J. K. Stability and nonlinear character of ordinary
differential equations. Nonlinear Problems (Proc. Sympos., Madison, Wis.,
1962) pp. 139-150. Univ. of Wisconsin Press, Madison, Wis., 1963.
[13] Moser J.K. A new technique for the construction of solutions of non-
linear differential equations, Proc. Nat, Acad. Sci. USA 47 (1961), pp.
1824-1831.
[14] Moser J.K. Recollections, The Arnoldfest: Proceedings of a
Conference in Honour of V. I. Arnold ofr his Sixtieth Birthday (E.
Bierston, B.Khesin, A.Khovanskii, J.Marsden, eds.), Fields Institute
Communications, Vol. 24, Amer. Math. Soc., 1999, pp. 19-21.
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера
27
[15] Moser J.K. Stable and random motions in dynamical systems: With
special emphasis on celestial mechanics. Ann. of Math. Studies 77,
Princeton Univ. Press, Princeton, 1973.
[16] Mather J. Existence of quasi-periodic orbits of twist homeomorphisms
of the annulus, Topology 21 (1982), pp. 457-467.
[17] Mather J. Letter to R. MacKay, Feb. 21, 1984.
[18] Nasar S. Obituary of Jiirgen Moser, New York Times, January 2000.
[19] Percival I. C. A variational principle for invariant tori of fixed
frequency, J.Phys. A 12, №3, (1979), L57-L60.
[20] Percival I. C. Variational principles for invariant tori and
cantori, Symp. On Nonlinear Dynamics and Beam-Beam Interactions (M. Month
and J.C.Herrara, eds), American Institute of Physics, Conf. Proc. 1980,
pp. 302-310.
[21] Rabinowitz P., et. al., Jurgen K. Moser (1928-1999), Notices of the
American Mathematical Society 47 (2000), pp. 1392-1405.
ОБ ИНВАРИАНТНЫХ КРИВЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ КОЛЬЦА, СОХРАНЯЮЩИХ ПЛОЩАДЬ1
§ 1. Введение
1. Занимаясь ограниченной задачей трех тел, Пуанкаре [1] пришел к
исследованию отображений кольца на себя, сохраняющих площадь. Он
сформулировал теорему о существовании неподвижных точек таких
отображений; эта теорема может быть использована для доказательства
существования бесконечного числа периодических решений ограниченной
задачи трех тел. Позже Дж. Д.Биркгоф [2] дополнил эти исследования рядом
глубоких доказательств.
Изучение колец важно для многих видов нелинейных дифференциальных
уравнений; ограниченную задачу трех тел можно рассматривать как модель
для таких уравнений, выявляющую основные трудности в простой форме.
Сохраняющие площадь отображения возникают из обычных дифференциальных
уравнений, описывающих движение без трения.
В этой статье мы доказываем теорему, гарантирующую существование
замкнутых инвариантных кривых такого отображения. Замкнутые инвариантные
кривые соответствуют почти периодическим решениям дифференциального
уравнения, порождающего отображение. Они важны для изучения устойчивости
периодических решений. Мы сформулируем задачу об отображениях точнее.
2. Пусть г, в - полярные координаты на плоскости; рассмотрим кольцо
О < а ^ г ^ Ь.
1Moser J., On invariant curves of area-preserving mapping of an annulus.
Доклад на симпозиуме по нелинейным дифференциальным уравнениям, Колорадо-
Спрингс, 1961.
§ 1. Введение
29
Рассмотрим сначала простое отображение
01 = в + а (г),
(1.1)
П = г
и предположим, что угол вращения а(г) монотонно зависит от г:
Это отображение сохраняет окружности, поворачивая их на угол,
возрастающий вместе с возрастанием радиуса. Мы будем называть отображение
(1.1) "кручением".
Рассмотрим теперь возмущение кручения:
где функции F и G предполагаются малыми и периодическими по 9 с периодом
27г. Вопрос состоит в том, существуют ли для этого отображения замкнутые
