Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 19

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 136 >> Следующая

определенную при 0 ^ к < I. Очевидно, что Wm отображает Di в Dk. Поэтому
в I'Wki - id. 11 супремумы следует брать по области D[.
Обозначения Мд,, °Uki ^к в настоящей заметке имеют тот же смысл, что и в
статье, но вместо большого параметра Nk мы будем использовать более
"наглядный" малый параметр ей = NjT1, так что следующее предложение в
точности соответствует рассуждению после теоремы 2.
Предложение. Если замыкание образа отображения °Un лежит в Dn-1 и |allj -
id 11 < ?j для некоторой последовательности положи-
СО
тельных чисел ?j, удовлетворяющей условию ?j < +оо, то компози-
j=i
ции Wn = °l/i о °1/2 ° ° °Un и их производные равномерно
сходятся
в D оо •
Доказательство.
1) Равномерная сходимость самих композиций Wn почти тривиальна.
По предположению ||^|| < 1 + ?". Дифференцируя рекурсивное соотношение
'Wn = Wn-1 о alln, мы получаем
И = \Wn-i(^n)°K\\ ^ IWUIKl+e"),
56 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
ОС
поэтому W^nW ^ с := П(1 +?j)- Значит, отображения "Wn удовлетво-з=1
ряют условию Липшица с равномерной константой с, откуда
Wn ~ Ж,-llo = 1Ж.-1 о - Жг-ilo ^ с|°1/п - id |о < се", (1) что и
доказывает равномерную сходимость композиций в Лоо- На
СЮ
этом втором шаге существенна лишь сходимость ряда ^ - id |о-
з=1
2) Доказательство равномерной сходимости матриц Якоби в Dоо несколько
более тонко. Нижеследующее доказательство принадлежит М.Б.Севрюку (1998,
частное сообщение). Пусть 0 ^ k < I. Рассмотрим композицию
Уы = Wk+1 о °ик+2 О ¦¦¦ о% : Dt^Dk.
При помощи тех же рассуждений, что и выше, легко получить оценки
W'Wh-IW ": ёк, \Wki - id |о ^ (гк, (2)
СЮ
где последовательности Sk '= п (1 + Sj) - 1 И ак := cYZLk+1?j
j=k+1
стремятся к нулю при к -"¦ сю. Аналогично (1) при m < к < I мы имеем:
| ЖтЛ - Жпа|о = \Wmk ° Wki - ^ с|^.1 - id |о ^ С(Тк (3)
с той же стремящейся к нулю при к ->¦ сю последовательностью (Г*.
Чтобы доказать сходимость матриц Якоби представим как ft = fm ° ЖпА ДЛЯ
некоторого m < к, так ЧТО ^ = 'W'm{'Wm,k)'W'mk. Теперь
^ + <W"*)C<C* - Д,
и из оценок (2) вытекает
I\П - ^(Wmk)\\ = \\W^(Wmk)(W^k - 7)11 "С cSm.
Заменив к на I и вычтя почленно соответствующие неравенства, мы получим
\\Ч - Щ'\\ ^ WLi^mk) - ^(Wmi)II + 2cSm в Di при I > к > m. (4)
Замечание к работе
57
Покажем, что первое слагаемое в правой части неравенства (4) мало при
больших к <1. Заметим, что при фиксированном т матрица Якоби равномерно
непрерывна в замкнутой полосе Кт, которая лежит в Dm и содержит образы
отображений Wmk и Wmi, - это следует из соотношений Wmk = aUm+1 о Wm+
ltk, = °Um+1 о Wm+1
и range(d^'"l+i) d Dm. Из периодичности по первому аргументу вытекает,
что ограничение матричнозначного отображения WL на Кт равномерно
непрерывно. Отсюда и из оценки (3) следует, что левая часть в неравенстве
(4) может быть сделана меньше, чем 3сёт, при достаточно больших к < I, а
значит, и меньше любого наперед заданного положительного числа. Таким
образом, - последовательность Коши в Dоо, что завершает доказательство.
БЫСТРО СХОДЯЩИЙСЯ МЕТОД ИТЕРАЦИЙ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ1
Введение
В этих лекциях мы рассмотрим ряд задач, связанных с нелинейными
дифференциальными уравнениями и с построением их решений. Существует
несколько методов, которые позволяют преодолевать трудности,
встречающиеся в нелинейном функциональном анализе. Отметим среди этих
методов итерационные методы, основанные на принципе сжатия, которые можно
рассматривать как обобщение "regula falsi" на случай банаховых
пространств и методы, идущие от теорем Лере и Шаудера о неподвижной
точке. Шаудер применил свой метод к изучению квазилинейных
гиперболических дифференциальных уравнений и установил существование
решений "в малом" [1].
В работах Шаудера для применимости метода существенно выполнение
некоторых тонких априорных оценок для решений линейных дифференциальных
уравнений в частных производных. Не останавливаясь подробно на этих
оценках, отметим только, что имеются в виду среднеквадратичные оценки,
которые весьма важны также при установлении существования слабых решений
гиперболических уравнений [2]. Известны задачи, которые уже долгое время
не поддаются решению такими методами.
В качестве первого примера интересующих нас задач отметим проблему
вложения. Можно ли данное риманово многообразие класса С°° изометрично
реализовать как подмногообразие конечномерного евклидова пространства.
Проблема вложения была решена Дж. Нэшем, применившим весьма остроумные
методы [3]. Эта задача без труда сводится к некоторой системе
дифференциальных уравнений в частных
1J. Moser, "А rapidly convergent iteration method and non-linear
differential equations I". Annali della Scuola Norm. Super, de Pisa ser.
Ill, 20, №2 (1966), 265-315; II, Annali della Scuola Norm. Super, de Pisa
ser. Ill, 20, №3 (1966), 499-535. (Перевод
А. Б. Каток.)
Введение
59
производных, которую, однако, невозможно исследовать известными ранее
методами. Эти дифференциальные уравнения не являются ни гиперболическими,
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed