КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
c8ivi+(1"x)' < |м-2* = |лс2х2",
(у - 1) I > 1 + 2*2!/, (4.11)
что следует из (2.4) при у = 4/3 и v, определенном, как и выше.
Следовательно, из (4.9) вытекает
Мо + \Ф\о < М~2х = 6'
что и доказывает (2.9).
4. Оценка для высших производных. Чтобы доказать, наконец, (2.9'),
введем новые переменные
х = Nx, Z = Nt;, у = Му, г) = Мт].
48 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
Тогда отображение (4.1) принимает вид
где
XI = X + - у + f(x, у),
2/1 = У + д{х, у), f = Nf, g=Mg.
(4.12)
Покажем сначала, что производные /, g по х, у до порядка I включительно
можно оценить постоянной, не зависящей от N, М. Для этой цели мы
используем предположение (2.6') и при р\ + р2 = I получим
D^D^N/
X у "
+
DpJDpJMg
"С N.M¦ М. V N
^ N.M- М. (N-\
I N )
P1 /М_Ч р2
~W
<
= дг1+(1-х) (г-^) ^ 1}
так как ввиду (4.11) показатель степени отрицателен. С другой стороны, в
области \у - и>\ < 1/М-
\Nf\ + \Mg\^M-S. = M^l.
Следовательно, функции f(x, у), g(x, у) определены для всех
действительных жив области \у - Мш\ < М/М. > 1 эти функции и все их
производные до порядка I ограничены числом 1. Отсюда (многократным
применением теоремы о среднем значении) получаем, что все производные
меньшего порядка можно оценить с помощью зависящей только от I постоянной
Сд:
f(x, у)
+ Ig(x, У)\р < Сд,
Следовательно, записав отображение (4.12), которое мы обозначим через в
виде х\ = F(x, у), у\ = G(x, у), получим
|^|/ + |С|; < сю,
или, сокращенно, \&\i < Сю-
§5. Некоторые обобщения
49
Аналогичная оценка справедлива для °U:
x = ? + u(?,rj), y = rj+v(?,rj),
где и = Nu, v = Mv. Производные и, 5 по fj оцениваются из (4.6) и леммы 2
(при pi + р2 ^ I + 2а):
\u\t + |"|, "С c'MN2crS- = c'M~1N2cr < ± < ±,
где производные берутся по ?, г}. Теорема о неявной функции гарантирует
существование в кольце \у - и>\ < 2/М обратного отображения с не
зависящей от N, М оценкой для производных до порядка I включительно. В
символической записи
<2,
°и-
<2,
так что отображение Ф = аи~1^аи записывается с помощью функций,
производные которых до порядка I включительно оцениваются не зависящей от
N, М постоянной, скажем сц. В применении к <р, ф это означает, что
DyD^Nip
+
Оценка (2.9) будет справедлива при р\ + р2 ^ I¦ Этим доказательство
теоремы 2 закончено.
§ 5. Некоторые обобщения
1. Доказательство теоремы 1 получено пока только для случая а(г) = г и
s = 1. В этом параграфе мы покажем, что случай функции а(г) общего вида
может быть сведен к обсуждавшемуся случаю. Кроме того, мы укажем, как
видоизменить доказательство, чтобы получить s (s > 1) раз
дифференцируемую кривую.
Пусть
Г 6>i =в + а(г) +F(r, в), ... , ,
1 ,rxa\ а<:г^Ь, (*)
I n = г + G(r, в),
есть данное отображение. Введем новые независимые переменные х = в, у =
а(г), а(а) ^ у ^ а(Ь).
50 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
Согласно предположениям (1.6), (1-7'), это преобразование взаимно
однозначно и имеет I производных с заданными оценками. Далее, отображение
(*) имеет вид (2.1), причем
/(ж, у) = F(r, в), g(x, у) = a(r + G(r, в)) - а(г),
откуда видно, что условия (2.2), (2.2') выполнены для некоторого со-
Оценка для ширины кольца дается неравенством а(Ь) - а(а) ^ с^1.
2. Дифференцируемость инвариантной кривой более высокого порядка можно
получить, увеличивая I. Для этой цели нужно видоизменить выбор параметров
у, v, I в (2.4) и соотношение, связывающее S и М. Укажем необходимые
изменения: пусть s ^ 1 есть желаемое число непрерывных производных
кривой; тогда мы заменим (2.4) на
Х = 1 + 2^+Т " = 6(* + 1)> l = 2s + l + 4(s + 2)v (5.1)
и (2.5) на
S = M~{s+1)x. (5.2)
Доказательство в § 4 теперь может быть проведено тем же способом, что и
раньше, но со следующими изменениями: в п. 3 вместо формулы (4.9) получим
Мо + Мо ^ С8 (ЛГ2,Г+1(ЛГ*-2 + M~2s~1) +ivi+(1"x)') "с <: 2с8 (n2cf+1M-s-2
+ jvi+(1-x)z) .
Для того чтобы правую часть сделать меньше, чем M~X^S+1\ нужно выбрать v,
I столь большими, чтобы
s + 2 > x(s + 1) Н---
и
(X ~ 1)1 > 1 + 2yV Оба этих соотношения следуют из (5.1).
Вследствие сделанного выбора S в (5.2) можно заменить (4.8) на
М* + MU ^
что позволяет доказать равномерную сходимость 5-й производной отображения
(2.14) и, следовательно, непрерывность 5-й производной предельной кривой.
§5. Некоторые обобщения
51
3. Малые кручения. Для исследования устойчивости неподвижных точек
отображений важно иметь обобщение теоремы 1 для случаев, в которых угол
вращения в отображении кручения (1.1) изменяется только в малом
интервале. Мы рассмотрим здесь такое обобщение.
С этой целью введем параметр 7 в полуинтервале
О < 7 ^ 1 и запишем отображение (1.2) в виде
|6"i=6" + 7 (a(r) + F(r, в)),
| П = г +7G(r, в),
где г изменяется в пределах а^г^Ь, Ь - 1.
Теорема 3. В предположениях (1.4), (1.5), (1.5') утверждение теоремы 1
остается справедливым, если заменить (1.8) на
в[ = в' + 7 а(го).
Число <50 = <5о(со, ?, s) может быть выбрано независимо от 7.
