Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 13

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 136 >> Следующая

сходимость итераций существенна для нейтрализации влияния малых
знаменателей (см. также [11]).
4. Цель этой статьи состоит в том, чтобы дать полное доказательство
теоремы 1. Ряд применений этой теоремы и ее естественных обобщений к
уравнениям Дуффинга и ограниченной задаче трех тел упоминаются в [12] и
здесь не будут обсуждаться.
Некоторое значение имеет тот факт, что теорема 1 в ее усиленном варианте
может быть использована для доказательства устойчивости периодических
решений. Следуя Дж. Биркгофу (см. [3], [4]), мы придем к изучению
сохраняющих меру отображений (1.2) в окрестности неподвижной точки, в
которой мы положим г = 0. Для доказательства устойчивости неподвижной
точки нужно показать, что в произвольной близости от г = 0 существуют
окружающие эту точку инвариантные кривые (эти идеи изложены в [5]1).
Последнее требует обобщения теоремы 1 на отображения, для которых угол а
(г) изменяется только внутри малого интервала. Такой результат
рассматривается в §5.
Эта работа была доложена на семинаре в Нью-йоркском университете, в ходе
которого Ион, Ланг, Л. Ниренберг и другие высказали много полезных
замечаний. Я благодарен К. Л. Зигелю за стимулирующее влияние на мою
работу в этой области, которое я испытывал во время предшествующих
контактов.
§ 2. Набросок доказательства
1. Чтобы сделать яснее доказательство теоремы 1, мы ограничимся случаем
a(r) = г, s = 1, оставив обсуждение более общего случая до §5. Обозначим
угловую переменную в через х, а радиус г через у. Тогда отображение
принимает вид
[xi = x + y + f(x,y), ^
\У1 = У + g(x, У)
в кольце а ^ у ^ Ь, где функции /, g имеют период 2-7Г по х и где
Ъ- а ^ с0 1. Предположение малости fug выражаются неравенствами
IЛ + \g\ < So (2.2)
Аналогичные результаты были анонсированы В. И. Арнольдом в [9].
§2. Набросок доказательства
33
и
(2.2')
(2.3)
ш ^ еп <г+3/2 для всех целых п > 0, т.
(2.3')
Здесь а есть целое число ^ 4.
Построим инвариантную кривую с помощью итерационного процесса следующего
типа. В данном кольце а < у <Ъ найдем более узкое кольцо и введем (в этом
узком кольце - перев.) подходящие полярные координаты ? (mod 2л-) и г)
таким образом, чтобы преобразованное отображение приближало отображение
кручения с большей точностью, чем исходное. Повторив это построение, мы
найдем в предыдущем кольце еще более узкое кольцо и подходящие
координаты, в которых преобразованное отображение еще точнее приближает
кручение. В пределе последовательность колец сожмется к искомой
инвариантной кривой. В то же время угловой параметр на этой кривой будет
как раз таким, в котором индуцированное отображение станет вращением.
Было бы достаточно, конечно, найти инвариантную кривую без
нормализованного параметра, который можно ввести на втором шагу. Однако
для построения инвариантной кривой необходимо, чтобы число вращения плохо
приближалось рациональными кратными 27г. Число вращения должно
контролироваться в процессе итерации. Ввиду этого представляется
невозможным определить кривую без одновременного нахождения на ней
нормализованного параметра.
Чтобы провести это построение и доказать его сходимость, мы опишем
сначала общий n-й шаг, т. е. переход от (п - 1)-го кольца к п-му.
Положение колец и отклонение отображений от кручения оцениваются с
помощью нескольких параметров, которые мы теперь введем. Для простоты
заранее укажем соотношения между этими параметрами, а именно N, М и S.
Пусть
X = |, и = 6(а + 1), / = 3 + Ни
(2.4)
и для N > 1
М = NV > TV, S = М~2х.
(2.5)
34 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
Для дальнейшего доказательства принципиально важен тот факт, что
итерационный процесс, который мы получим, быстро сходится: отклонение
отображения от кручения убывает, как 5*п (а не только как 5д ). Это
выражает формулируемая ниже теорема.
Параметры 7V_, М_, <$_, относящиеся к (п - 1)-му шагу итерации, связаны с
N, М, 5 равенствами
N = N*, М = М*, 5 = 5х.
Ослабим теперь оценки (2.2) и (2.2'), чтобы приспособить их к индукции, и
предположим, что
\f\ + \g\<S- при I (2.6)
\DP'DP*N-f\ + \D^D^M-g\ <: NP_1+1MPJ, Pl + p2 = I. (2.6')
Впоследствии мы заменим параметр 6- на 5п-1 = 5*п 1 и аналогично поступим
с N_ и М_.
Отметим, что для исходного отображения условия (2.6) и (2.6') будут
выполнены при п = 1, если <$0 выбрано достаточно малым. Действительно,
(2.2) и (2.6) согласуются между собой и при М0 > е (2.3) тл\у-ш\ < 1/Mq <
е гарантируют неравенства а < у < Ь. Наконец, из (2.2') вытекает
\DpD?Nof\ + \DPx'DPy*M0g\ ^ с0М0,
и так как из М0 > N0 и pi + р2 = I ^ v следует
TVq 1 Mg2 ^ Nl0 ^ N" ^ М0,
ТО
с0М0 ^ CqNq1 Mq2 <С NP1+1MP2,
если N0 > Со- Следовательно, (2.6) и (2.6') будут выполнены при п = 1,
если положить М0 > е-1 и N0 > со, т. е. если
"50<?2х, с0-2х".
Мы сохраним, однако, за собой свободу в определении <$о для дальнейшего.
§2. Набросок доказательства
35
(2.8)
Теорема 2. Пусть (2.1) описывает отображение кольца, удовлетворяющее
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed