КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
(2.6), (2.6') и обладающее тем свойством, что всякая замкнутая
непрерывная кривая, близкая к у = const, пересекается со своим образом.
Тогда для достаточно малого So существует преобразование координат
Г ж = ? + ы(?, г]) 1 11
{ у = Г) + v{Z, Г)) при ^ ^ м_ Му М' ( -7)
удовлетворяющее неравенству
+ (2.7')
и такое, что в кольце
14-HCjg
отображение (2.1) принимает в координатах г] вид
Г 6 = ? + "г+ <?(?, г}),
W = ?? + 1/'(С, ц),
где
\(р\ + \ф\ < S = 6* при \г) - и>\ < -^ (2.9)
D^D^Nip + D^DPfMif) <NP1+1MP2 при px+p2=l. (2.9')
Доказательство этой теоремы мы отложим до § 4; оно является ос-
новным в настоящей работе. Сейчас мы хотим показать, что из теоремы 2
может быть получено доказательство теоремы 1 в том частном случае, когда
a(r) = г, s = 1.
Для этой цели обозначим отображение (2.1) через З'о и отображение
кручения Xi = х + у, yi = у через З'оо. Неравенство (2.2) запишется в
виде
| ^0 - S'оо | < <5о •
Тогда, согласно теореме 2, существует преобразование (2.7), которое мы
обозначим через °Ипереводящее &о в отображение
°UxX -^0^1 =
задаваемое формулой (2.8) и такое, что
Wi- (r)^\<Sl = Sx.
36 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
Повторяя этот процесс нормализации отображения в узком кольце, мы
получаем отображение кольца
Sn = att~1Sn-1Wn (п = 1,2,...), (2.10)
для которого
\&п - Soc\< 5п = (2.11)
Если обозначить координаты, в которых выражается ЗРп через х^ у(п) _ ^ то
будет определено в кольце
"'-"|<е=йЬ <2Л2)
Кроме того, согласно (2.7), преобразование координат °ип от х('п~1'>,
y(n-i) к х(п) ^ у(п) близко к тождественному, что мы выразим с помощью
неравенства
Ж.-Л1< = (2.13)
JVn_1
Неравенства (2.11) и (2.12) свидетельствуют о том, что на окружности г] =
oj отображения &п сходятся к отображению которое является
вращением = ? + и>. Наконец, связь между х^п\ у^ и
старыми
координатами х = у = узадается равенствами
1Тп =
и
= W-'SoWn.
Отображение "Wn определено в кольце \у^п'> - ш| < 1 /Мп и переводит его в
узкое кольцо, лежащее внутри \у - ш\ < 1 /М0. Запишем Wn в виде
= гда { = 1" ы (2.14)
I У = v + <ln{?, Г]),
Мы должны показать, что рп(?,, и>), qn(?., ш) и их первые производные
равномерно сходятся к некоторым функциям р(?), q(C) (и их первым
производным соответственно). Тогда инвариантная кривая теоремы 1 будет
задаваться уравнениями
x = Z + P(0, y = v + q(?).
§2. Набросок доказательства 37
Сходимость самих рп, qn непосредственно следует из неравенства1
П П
Ы + к"|<?(К1 + М)<Еж-11=1 11=1 "
Правая часть неравенства может быть сделана меньше е, если N0 достаточно
велико. Для доказательства сходимости производных от рп, qn мы обозначим
матрицу Якоби преобразования 41п через
JJ _ (1 + щ uv \
Un ( Vi 1 + vv)' тогда, согласно (2.13) (или 2.7')),
iVn
По правилу умножения якобиевых матриц матрица Якоби Wn преобразования Wn
равна
W" = U1U2 • • • Un,
где справа стоит произведение матриц. Сходимость производных рп, qn
эквивалентна сходимости W", т. е. сходимости произведения матриц. Так
как, в силу (2.13), матрица Uv мажорируется матрицей
i+w3
то достаточно доказать сходимость произведения коммутирующих матриц
п (/+^) (tm) П ¦*>(?').
и=1 4 у V = 1
которая очевидна. Кроме того, мы получаем оценку
I wn - /К
N"
<
<
-1 -1 ^ Ж-
и=1
Nn
N0
1и из неравенства (2.7;) (или лучше из (2.13)). Требование ограниченности
производных для сходимости этих рядов связано с тем, что аргументы
(которые не показаны) членов этих рядов следует брать в различных точках.
38 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
Выбрав Nq достаточно большим, мы получим
\Wn-I\<e,
откуда при s = l следует (1.7).
Этим доказательство теоремы 1 (в частном случае 5 = 1, а(г) = г) сводится
к теореме 2. В § 3 мы развиваем некоторые методы для доказательства
теоремы 2 и дадим это доказательство в § 4.
§ 3. Разностное уравнение. Сглаживающий оператор
1. При построении преобразования (2.7) теоремы 2 решающее значение
имеет нахождение решения разностного уравнения
здесь w, h - функции периода 27г со средним значением нуль.
Предполагается, что число oj удовлетворяет условию (2.3'), т. е.
где т = а - 1^3 - целое число.
Лемма 1. Если h есть т раз непрерывно дифференцируемая функция (т ^ 3),
то (3.1) имеет непрерывное решение, которое мы обозначим через w = Lh и
для которого
w(x + и>) - w(x) = h(x)-
(3.1)
\пш - 2жт\ ^ еп т+1/2,
(3.1')
\Lh\0 ^ ? \h\T-
(3.2)
здесь с - абсолютная постоянная.
Доказательство.
Для тригонометрических полиномов
h = Y,hkeikx
кф О
решение задается формулой
(3.3)
§3. Разностное уравнение. Сглаживающий оператор
39
Неравенство (3.2) требует оценки для коэффициентов Фурье. Так как h есть
т раз дифференцируемая функция, то
Если h(x, у) есть функция двух переменных с периодом 2тт по х и средним
значением нуль, то разностное уравнение
может быть решено тем же способом и для решения w = Lh из леммы 1 следует
оценка
при условии, что производные в правой части существуют и непрерывны.
