Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 21

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 136 >> Следующая

сможет привести к недоразумениям, мы будем называть ||ц|| -нормами.
Замыкание множества функций периода 27т из класса С°° по норме (iMIo +
И^Ир) представляет собой гильбертово пространство, которое мы обозначим
Vp (пространство Соболева). С помощью разложения в ряд Фурье
v = ^ Vke*(k,x\ к = {к\, ... , kv), kv - целые числа, к
можно определить пространства Vp и для нецелых значений р. А именно
положим
IHIp = 27r$]lfcl2pH2' (L2)
к
где \к\2 = к\ + ... + кр.
62 Быстро сходящийся метод итераций
Замыкание множества тригонометрических полиномов по норме ,,2 2\1/2
щ11о + IMIp) называется пространством Vp. При натуральных значениях р это
определение совпадает с предыдущим.
Ь) Нормы ||щ||р при различных р связаны некоторыми неравенствами. Мы
перечислили те из них, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Для данной функции v € Vr выражение log 1111 = ip(p) является
выпуклой функцией от р в интервале (0, г). Этот факт можно установить из
следующих соображений. Формула (1.2) позволяет определить ip как
аналитическую функцию от р при комплексных значениях р в полосе 0 ^ Re р
^ г, причем
max \ф)\ = tp(p).
Re z=p
Предположим теперь, что f v dx = 0. Из теоремы Адамара о трех прямых
следует выпуклость ip(p) при 0 р г. Следовательно,
IMIp ^ Ikllp, • Мр2 при P = api+Pp2, (1.3)
где а, /3>Оиа + /3 = 1.
В частности,
^ IMll р/г ¦ Ь\\гТ при О^р^г. (1.3')
Заметим также, что Vp Э Vp при 0 < р < р'- Неравенства (1.3) и (1.3')
получены в предположении f v dx = 0. Но если прибавить к v константу,
левые части этих неравенств останутся без изменения, а правые части не
уменьшатся. Таким образом, мы видим, что неравенства (1.3) и (1.3')
справедливы для всех функций v.
с) Выясним, как можно приблизить функцию v € Vp функциями из
пространства Vr, если г > р.
Лемма 1. Для любой функции v € Vp (0 < р < г) и любого числа Q > 1
существует функция wtF такая, что
Цг-щЦо^А-д-", |Н|Г < А-д, (1.4)
где К = |Н|р и
Р Р Р (Л г\
р =---------------- или - = --г. (1.5)
' г - р r р +1
Глава 1
63
Доказательство.
В качестве w нужно, очевидно, выбрать функцию с усеченным рядом Фурье
w= vkei{k'x\
\к\2 <N
где число N будет выбрано ниже. Обозначив v - w = z, очевидно, имеем
IIHIj- ^ Nr~p ||w||p , \\z\\p>W\\z\\0.
Так как функции ортогональны относительно скалярного произ-
ведения (V, w)p,1 ТО ||w||p ^ 1Н1р- Поэтому
I ll"-w||0 ^ N-p\\z\\p^KN-p,
I IHI, ^Nr-"\\w\\p^KNr-".
1
Выбрав N = Q т~р, получим утверждение леммы. Обратно, имеет место
Лемма 2. Если функция v € V0 такова, что для любого Q > 1 существует
функция w € Vr, для которой
\\v ~ w\\o KQ^11, ||гц||г ^ KQ (//> 0),
то v € Vp, если число р удовлетворяет неравенству
- < -- (1.7)
г р +1 У 4
и ||и|| < сК, если ||г)||0 ^ К, где с зависит только от р, г и п.
Доказательство.
Выберем Q' = 2Q и обозначим аппроксимирующую функцию, соответствующую Q',
через w'. Тогда
||w - w'||0 <: K(Q-" + <; 2KQ-11,
\\w-w'\\r<:K(Q + Q') ^3KQ,
и, согласно (1.3'),
\\w - w'\\p ^3KQ~q, где q = n(l-Pj-P.
1При нецелом p скалярное произведение (v, w)p определяется так: если v =
= VkG^k,x\ a w = Y1 x\ to (u, w)p = VkWk \Щ2р- - Прим. перев.
64
Быстро сходящийся метод итераций
Из условия (1.7) следует, что q > 0. Следовательно, если мы положим Qn =
2nQ и обозначим соответствующие аппроксимирующие функции через wn, мы
получим
\\wn-wn+1\\p^3KQoq2-n11.
Таким образом, последовательность wn сходится в метрике Vp к пределу Если
рассмотреть как элемент пространства V0, то условие ||и - Wji||0 ^ KQ~P
показывает, что v = и>оо. Таким образом,
v е vp.
Оценку для |Н| можно получить исходя из неравенства
ОО
\\v - wo\\p ^ X llWfl " Wn+l\\р ^ KQoqc>
71-0
где с = 3^2~nq. Используя неравенства ||гпо||г ^ KQ0, ||wo||0 ^ ^ |Н|0 +
KQ~P^2K, получим ||w||p ^ ||w||p + Qq qcK = K(2Q^T + cQqQ). Положив Qо =
1, получаем искомую оценку для ||и|| с константой с + 2.
Доказанные леммы показывают, что функции из пространства Vp могут быть
охарактеризованы тем, насколько хорошо они аппроксимируются функциями из
пространства Vr.
Оценка для числа р, даваемая леммой 2, является наилучшей возможной, как
показывает следующий простой пример:
v(x) = X |fcf('r+*) ei{k,x\ 0 <а<п.
|fc|>0
Усеченные ряды Фурье этой функции приближают ее в смысле леммы 2 с р =
. Однако функция v не принадлежит пространству
Va,
хотя и принадлежит любому Vp при р < а.
§ 2. Суперпозиции функций
а) В предыдущем параграфе мы доказали для пространств Соболева
неравенства (1.3') и аппроксимационные свойства, выражаемые леммами 1 и
2. Отметим, что существуют и другие семейства пространств Vp (0 О ^ г),
обладающие этими свойствами. Для удобства перечислим снова нужные нам
свойства пространств Vp.
Глава 1
65
0) Если v ? Vp и ||и|| К, то для любого Q > 1 существует
Итак, Vp (0 0 р 0 г) - это семейство банаховых пространств V0 Э Vp Э Vr,
причем
/ 2 2 \ 1/2
a) Норма в Vp имеет вид 111г;110 + |М1р ) . ГДе выражения
||и||
связаны неравенством1
IHIp ^ Ф\\\~Р,Г • Мг/Г > (2Л)
а с зависит только от п, р и г.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed