КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что в этой форме невозмущенное отображение (5.3) имеет вид
в1 = в +7 air), 77 = г;
угол вращения 7а(г) изменяется в интервале (7а(а), 7а(Ь)), который будет
мал при малых значениях 7.
Для этого случая не ясно, существует ли в таком малом интервале
число ш, удовлетворяющее (1.10). Поэтому мы видоизменяем (1.9)
и (1.10):
а(а) + е < ^ < а(Ь) - е, (5.4)
\nw - 2wm\ ^ 7?П-3/2. (5.5)
Тогда плотность множества допустимых и> будет близка к 1.
Изложенное ранее (в § 4) доказательство может быть проведено для случая
малых кручений так же, как и ваше, если параметру 7 придавать подходящие
значения. Стоит отметить, что, если принять во
52 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
внимание (5.5), формула (3.2) должна быть видоизменена следующим образом:
ЬЩ0 < §\h\r.
С другой стороны, формула (4.6) должна быть заменена формулой
u={1L)2Tg + 1LT f, v = yLTg-[Tf\,
откуда видно, что понадобятся оценки только на 7L. Остальные детали
достаточно просты.
Литература
[1] Poincare Н., Sur une theoreme de geometrie, Rend. Circolo mat.
Palermo, 33, (1912), 375-407.
[2] Birkhoff G.D., The restricted problem of three bodies, Rend. Circolo
mat. Palermo, 39 (1915), 1-70.
[3] Birkhoff G.D., Surface transformations and their dynamical
applications, Acta math., 43 (1922), 1-119.
[4] Биркгоф Дж. Д., Динамические системы, Гостехиздат, M.-JL, 1941.
[5] Зигель К. JI., Лекции по небесной механике, Физматгиз, М.-Л., 1960.
[6] Колмогоров А. Н., Общая теория динамических систем и классическая
механика, Математический конгресс в Амстердаме, 1954 г. Физматгиз, М.-Л.,
1961, стр. 187-208.
[7] Колмогоров А.Н., О сохранении условно периодического движения при
малом изменении функции Гамильтона. Докл. АН СССР, 98 (1954) 527-530.
[8] Арнольд В. И., Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на
себя, Изо. АН СССР, сер. матем., 25 (1961), 21-86.
[9] Арнольд В. И., Об устойчивости положения равновесия гамильтоновой
системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом
случае, Докл. АН СССР, 137 (1961), 255-257.
Литература
53
[10] Арнольд В. И., О рождении условного периодического движения из
семейства периодических движений, Докл. АН СССР, 138 (1961), 13-15.
[11] Moser J., A new technique for the construction of solutions of
nonlinear differential equations, Proc. Nat. Acad. Sci., U.S.A., 47
(1961), 1824-1831. [Есть русский перевод. См. сб. Математика, 6:4 (1962),
3-10.]
[12] Moser J., Perturbation theory for almost periodic solutions for
undamped nonlinear differential equations (в печати).
ЗАМЕЧАНИЕ К РАБОТЕ "ОБ ИНВАРИАНТНЫХ КРИВЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ КОЛЬЦА,
СОХРАНЯЮЩИХ ПЛОЩАДЬ"1
Ю. Мозер (14 февраля 1999 г.)
В связи с новым переводом моей статьи "Об инвариантных кривых отображений
кольца, сохраняющих площадь" на русский язык мне хотелось бы сделать
несколько замечаний и уточнить некоторые детали. В статье впервые была
опубликована "техника КАМ со сглаживанием". Чтобы описать эту весьма
непростую технику как можно понятнее, я принял решение отделить
построение колец, стягивающихся к искомым инвариантным кривым, от вполне
элементарного доказательства сходимости, приведенного после формулировки
теоремы 2.
Доказательство сходимости в статье было изложено довольно кратко, и
предполагалось, что читатель самостоятельно восполнит некоторые детали.
Ко мне обратились с просьбой объяснить ряд таких деталей. В настоящей
заметке мы доказываем сходимость, проводя явно все рассуждения, опущенные
в статье. Я благодарен М.Б.Севрюку за помощь в подготовке этого
доказательства.
В целом мы используем те же обозначения, что и в самой статье. Рассмотрим
последовательность диффеоморфизмов °2lj (j = 1, 2, ...), каждый из
которых отображает открытую полосу Dj := {(х,у) € Ж2, \у - ш\ < MJ1} в
Dj- 1, где 0 < М0 < М1 < ¦ ¦ ¦, так что Dj С Dj-г (ш - заранее
фиксированное вещественное число). Мы требуем периодичности allj - id
относительно сдвига (х, у) н-"- (х + 1 ,у), так что °Uj можно считать
отображением кольца Dj/Ъ. Кроме того, мы предполагаем, что range(d^j) (s
Dj-1, т. e. что замыкание образа диффеоморфиз-
СЮ
ма °Uj содержится в Dj-1. Пусть := Р| Dj. Если lim Mj = +oo,
j=о I-*-00
TO D00 = {(x,y), у = w}.
1Перевод М.Б.Севрюка.
Замечание к работе 55
Наша цель - определить, какие условия малости, наложенные на норму \°2lj
- id \c1(Di)'> обеспечивают С'1-сходимость композиций Wn = all\ о aU2 ° •
• • ° °Мп- Удобно использовать нормы
|°U - id |о = sup |°U - id |,
D
где D = D{°U) обозначает область определения отображения °U, так что
Difl/j) = Dj, и
|°U - id |i = \°U - id |o + WW - 7||,
где aW - матрица Якоби, || • || - супремум по D(a//) стандартной
матричной нормы (таким образом, || • || - субмультипликативная норма с
||7|| = 1), а I - единичная матрица.
Чтобы избежать громоздких обозначений, мы не указываем зависимости норм
от областей определения, хотя это и может привести к недоразумениям.
Например, рассмотрим композицию Wki = °Uk+1° o°l/k+2 о ¦¦¦ о °t/i,
