КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
линеаризации, мы заменим щ на и(? + ш, т]), так как \щ - м(? + и>, т])\ ^
|г*11 ¦ \т) - и>\ мала, порядка квадрата Л. Итак, эта линеаризация
приводит к уравнениям
x1=x + y + f(x,y) при \y-U)\<jj,
2/i=2/+ g(x, у)
(4.1)
и попытаемся с помощью преобразования
(4.2)
перевести его в новое отображение
6 =? + Г1 + <р(?, Г}),
m = ц + ФИ, ц),
(4.3)
{
? + Т] + ip + Ml = ^ + U + J] + V+ /(? + U, J] + v), rj + ф + v 1 = Tj +
v + g(? + u, Tj + v)i
(4.4)
u{? +0J,J])~ u(t, rj) = v + /(?, J]), v(? + w, rj) - v(?, rj) = g({, Tj).
При решении этих разностных уравнений появляются малые знаменатели.
Отметим, что второе уравнение может быть решено только в том случае,
когда среднее значение g равно нулю. Для дальнейшего важно,
44 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
кроме того, что функции /, g соответствующим образом сглаживаются, чтобы
нейтрализовать потери производных.
Исходя из этих соображений, определим и, v как решения системы
Г и(? + ш,7])~ и($, г]) = v + Т /(?, г]),[и] = О,
\v(? + w,ri)-v(t,ri) = T(g-[g]).
Здесь Т означает оператор Tvm из предыдущего параграфа и через [ ]
обозначено среднее значение функции по угловому переменному. Взяв среднее
значение правой и левой частей первого уравнения в (4.5), найдем
М + [Tf\ = о,
так что
v = L(Tg) + М = L(Tg) - [Г/].
Так как в первом уравнении (4.5) среднее значение правой части равно
нулю, то
u = L(v + Tf)=L2Tg + LTf.
Соотношения
[ u = L2Tg+LTf,
(4.6)
v = LTg-[Tf\ 1
определяют и, v в кольце
\п - ш\ < --- - .
1 1 1 М_ М
2. Оценка на и, v. Из (3.12), (3.13) и предположения (2.6) следует
м + М ^ C3N2* (|/|о + Ыо) < c3N2(TS- = c3N2(TM~2 (4.7)
и аналогично
j \DiU\ + \D^v\ "С c4N2a+1M-2 ^c4iV2'7M"1,
\ \Dnu\ + \Dnv\ ^ c4N2<tM-\ (4'7 ^
Так как, согласно (2.4), v ^ 2<т + 1, то
1
No + Мо <
NW (4.8)
Mi + Mi < ^
что доказывает (2.7).
§4. Доказательство теоремы 2 45
Таким образом, и, v определены в кольце
( если Мп > 2 х 1)
^~^<М1~М>М ^ если Мо > 2 х"
и внутри него удовлетворяют (4.7). Из теоремы о неявной функции
заключаем, что образ кольца \т) - ш\ < 3/М при отображении (4.2)
покрывает по меньшей мере кольцо \у - ш\ < 2/М. Следовательно,
отображение, обратное к (4.2), однозначно определено в кольце \у - ш\ <
2/М и непрерывно дифференцируемо в нем (при условии, что М ^ М0 выбрано
достаточно большим).
Из этого видно, что отображение (4.3) определено и дифференцируемо в
кольце \т] - ш\ < 1/М, а именно посредством (4.2) это кольцо отображается
в
\у-ш\ < \т,-ш\ + М +
а посредством (4.1) - в
\У1 - ш\ С \у - ш\ + б- < ± ^
где определено обратное отображение к (4.2). Следовательно, (4.3)
определено и дифференцируемо при \т) - ш\ < 1/М.
3. Оценка на |y>| + |t/>|. Чтобы оценить \tp\, \ф\ в кольце \т] - и>\
< < 1/М, отметим сначала, что по предположению каждая замкнутая
О
кривая вблизи окружности у = const, например rj = rj, пересекается со
своим образом, в данном случае с кривой
Щ = v +
т. е. гр(?, ij) имеет по крайней мере один нуль. Отсюда следует, что
sup
€
HZ, Ц) ^ osc ф(?, tj) ^ 2 sup rj) +w(rj)
где w(rj) есть любая функция от rj и где через osc?/>(?, rj) обозначена
i
осцилляция ф. Мы положим w(rj) = ~[Tg(Z, rj)]. Таким образом, из (4.4)
имеем
\ \Ш, л)\о ^ \HZ, п) - [Tg{Z, "j)]|0 =
= HZ, rj) -v(Zi, m)+g(Z + u, rj + v) - [T g]|0.
46 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
Воспользовавшись тем, что v удовлетворяет (4,5), найдем
\ Мо ф K? + w, 7j) - w(6, "Jl)lo + M(? +и, ц + v)- [Tg\|0 "С
^ \Div\o I1! - ш + Ио + \Dnv|0 \ф\0 +
+ \Tg(Z + u,T] + v)-Tg\0+ sup \(I-T)g(x, у)\.
\y-uj\<l/M-
Учитывая (4.7), имеем
\ Мо Ф c4N2a+1 М~2 \ri-u}\ + Hj (Мо + \ф\0) +
+ IТg(x, у)\г (|и|0 + Но) + |(I-Т) g(x, у)|0 •
В последних двух членах, в которых указаны переменные х, у, максимум
берется по большему кольцу \у - и>\ < 1/М- - 1/М. Для g> получим
аналогичную оценку из первого уравнения (4.4) и из (4.5); вычитая одно из
этих соотношений из другого, найдем
<р = и(? + ш, rj) - н(6, щ) + f(? + u,r) + v) - Т f
И
Мо "S c4N2(T+1 М~2 \Т] - ш\ + Hlj (Но + Мо) +
+ IТ f(x, у\ (|и|о + Н|0) + | (I-Т) /(ж, у) |0 •
Сложив это неравенство с оценкой для И|о и воспользовавшись соотношением
(4.7), получим
Мо + Мо Ф 2>c4N2a+1M 3 + (Hlj + 2 Hi) (Mo + Mo) +
+ (2 |Tg(x, y)\1 + \Tf\1)N2-M-2 +
+ \(I-T) g\0 + \(I-T) /|0.
Второй член можно исключить, предварительно перенеся его в правую часть,
так как, согласно (4.8), |u|i +2|"|i < 2/iV < 1/2 при N > 4. Член \Tf\i
можно оценить с помощью леммы 2, а именно
\Tf\i^c5M\f\0<^.
Вместе с аналогичной оценкой для g имеем
Мо + Мо ^ с6 {N2*+1M~3 + I (I- T)g) |0 + I (I- Т)/|0} .
§4. Доказательство теоремы 2 47
Используя предположения (2.6') и лемму 2, получаем
\(1 - Т) g\0 + \(1 - Т) /|0 ^ С7 sup (n-^m~^npj+1mpj) "с
Pl+P2=l
и, следовательно,
Mo + IV'lo ^ С8 {n2"+1M~3 + ivi+(1_x);|. (4.9)
Воспользуемся теперь соотношениями (2.4):
2^+1 "
c8N2cr+1M~3 = с8М " < ±М~2х
при условии, что М0 достаточно велико и
v > =ба+3; (4ло) последнее вытекает из (2.4). Аналогично
