Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 10

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 136 >> Следующая

Мезера") и теорема устойчивости, обобщающая его собственную теорему о
сохранении инвариантных кривых. Обе связаны с вариационной задачей
Здесь х = (xi, ... , хп) € К" и необходимо, чтобы подынтегральная функция
F(x, xn+i, р) имела период 1 по переменным х±, Х2, ... , xn+i. Он следует
работе Джиаквинта и Джиусти и определяет подходящую регулярную функцию и
на К", которая является "минимальным решением", если
J(F(x, и + (р, их + рх) - F(x, и, их)) dx ^ О
К"
для каждой подходящей регулярной функции ip с компактным носителем.
График и является гиперповерхностью М(tm)+1, и Мозер требует, чтобы проекция
графика и на Т(tm)+1 не имела самопересечений.
В теореме Мозера о существовании утверждается, что для каждого вектора
вращения а такая минималь существует и образует слои в слоистости
(lamination) тора Т"+1. Эта теорема доказана в работе
24
Дж. Н. Мезер
"Минимальные решения вариационных задач на торе", а затем в работе
"Минимальные слоения на торе" вместе с другими результатами, обобщающими
теорию Обри. Например, Мозер показал, что каждая минималь,
удовлетворяющая его условию отсутствия самопересечений, имеет вектор
вращения.
Иногда эта слоистость является слоением, но не всегда. В работе "Теорема
устойчивости для минимальных слоений на торе" Мозер показывает, что если
слоистость является гладким слоением (foliation), и ее вектор вращения
удовлетворяет подходящему диофантову условию, тогда она остается гладким
слоением при малых возмущениях подынтегральной функции F(x, xn+i, р)
вариационной задачи. Это обобщает теорему сохранения инвариантных кривых.
Мозер приводит доказательство, которое является обобщением его
"лагранжева" доказательства теоремы о сохранении. Похоже, что не
существует обобщения "гамильтонова" доказательства на эту ситуацию.
Уравнение Эйлера вариационной задачи fF(x, и, их) dx является
эллиптическим уравнением в частных производных. Мозер отмечает, что для
этой вариационной задачи создана обширная теория, но обычно
рассматриваются компактные области. Обобщение на некомпактные области
получено Мозером.
"Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой для
закручивающих отображений" является частью неопубликованных конспектов
курса, записанных Марком Леви (М. Levi) и прочитанного Мозером в Цюрихе в
июне 1986 года. Мозер объясняет свой "лагранжевый" метод для случая
теоремы о сохранении инвариантных кривых. Похоже, что он является
простейшим доказательством этой теоремы из имеющихся в литературе. Мозер
рассматривает лишь аналитический случай (теорема Колмогорова), но
отмечает, что доказательство может быть продолжено на случай
дифференцируемых функций. Мозер также рассматривает случай "малого
закручивания" и применяет его для доказательства устойчивости
эллиптических точек при гипотезе оптимальности (в аналитическом случае).
Например, более нет необходимости предполагать, что собственное значение
А функции dfo не является корнем четвертой степени из единицы, если
первый инвариант Биркгофа не обращается в ноль. С другой стороны, когда А
является корнем третьей степени из единицы, величина слагаемого ошибки в
нормальной форме Биркгофа уже имеет порядок 0(г3) и не существует
инвариантов Биркгофа. Извест-
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера 25
но, что в этом случае начало координат в общем случае неустойчиво.
Этот сборник дает многогранную картину различных вариантов теоремы об
инвариантных кривых в работах Мозера. Чтение сборника доставляет
настоящее наслаждение, благодаря ясности и простоте изложения вместе с
глубиной результатов.
Благодарности. Я хочу поблагодарить Я. Синая и В. Арнольда за полезные
обсуждения и вновь выразить признательность М. Р. Эрману за все то, что я
узнал от него об этом предмете в течении многих лет. Я также хочу
поблагодарить Джорджилли за указание на то, что доказательство в [8]
является детальным вариантом доказательства из [9] и за его мнение, что
доказательство в [9] действительно является доказательством.
6 апреля, 2001
Литература
[1] Arnold V.I. From Hilbert's superposition problem to dynamical system.
The Arnoldfest: Proceedings of a Conference in Honour of V. I. Arnold for
his Sixtieth Birthday (E. Bierstone, B.Khesin, A. Khovanskii, J.Marsden,
eds.), Fields Institute Communications Vol. 24, Amer. Math. Soc., 1999,
pp. 1-18.
[2] Arnold V.I. Declin des Mathematiques (apris la mort de Jurgen Moser),
Gaz. Math. №84 (Avril 2000), pp. 92-95.
[3] Арнольд В. И. Малые знаменатели и задачи устойчивости движения в
классической и небесной механике, Успехи мат. наук (1963), №6, стр. 91-
192. Перевод на английский: Math. Surveys 18 (1963), №6, pp. 85-191.
[4] Арнольд В. И. Малые знаменатели I. Отображение окружности на саму
себя. Известия Академии наук СССР, сер. Математика 25 (1961), стр. 21-86.
Перевод на английский: Amer. Math. Soc. Translations, Series (2) 46, pp.
213-284.
[5] Арнольд В. И. Устойчивость положения равновесия гамильтоновой системы
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed