КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
= 3, d = 2 (т. е. Солнца и двух планет на плоскости) это является одним
из важнейших достижений КАМ-теории, полученным Арнольдом [3], но
остальные случаи остаются нерешенными. Работа Арнольда в этой области
была обобщена в диссертации Фейоза (Fejoz). Несколько лет назад М. Р.
Эрман в своих лекциях по КАМ-теории в Колумбийском университете получил
обобщение на случай малого закручивания и нулевого закручивания, но
осталось очень много нерешенных задач.
"О построении инвариантных кривых и множеств Мезера с помощью
регуляризованного вариационного принципа"1 содержит альтернативное
доказательство моей теоремы [16]. (Это теорема была обнаружена независимо
Обри (Aubry) [6].) Предполагая выполнение "гипотезы монотонного
закручивания", я доказал существование определенных инвариантных множеств
для гомеоморфизмов, сохраняющих площадь. Сейчас я называю эти множества
"множествами, минимизирующими действие". Для каждого иррационального
числа а существует в точности одно множество, минимизирующее действие, с
числом вращения а. В том случае, когда существует инвариантная кривая для
числа вращений а, она является множеством, минимизирующим действие. Во
всех других случаях множество, минимизирующее действие, является
инвариантным канторовым множеством, фактически минимальным множеством
Данжуа. (До моей работы Percival [20] обнаружил эти множества для частных
случаев. Он назвал их "кантороторами". Дополни-
1См. стр. 199.
22
Дж. Н. Мезер
тельно в моем доказательстве используется "лагранжиан", полученный
Персивалем [19] для численных вычислений.)
С этой точки зрения теоремы Колмогорова и Мозера могут рассматриваться
как результаты о регулярности для множеств, минимизирующих действие. В
них утверждается, что при определенных условиях множеством,
минимизирующим действие, является кривая. Как часто бывает, результат о
регуляризации является намного более глубоким, чем теорема существования.
Мозер создал свой "регуляризованный вариационный принцип", добавив
"искусственное слагаемое вязкости", зависящее от параметра v. При v > 0
Мозер доказал существование минимали и показал, что она удовлетворяет
уравнению Эйлера. Переходя к пределу v = 0, он получает теорему,
сформулированную Обри и мною. Преимущество этого подхода в том, что при v
= 0 прямое доказательство, использующее уравнения Эйлера (как в работе
[16]), является более сложным, поскольку обычные методы вариационного
исчисления неприменимы.
В предпоследнем параграфе Мозер использует функцию избытка Вейерштрасса,
доказывая, что решение уравнений Эйлера является минималью, когда v > 0.
Тот же самый аргумент, применяемый для случая v = 0, показывает, что
инвариантная кривая является минималью. Это связано с результатом
Лазуткина и Термана (Terman) [11] и с несколько отличающимся от него
результатом МакКея (Маскау) и моим [17].
В последнем параграфе Мозер возвращается к задаче о сохранении
инвариантных кривых, интерпретируемой здесь как задача регуляризации.
Когда число вращения а удовлетворяет диофантову условию, множество,
минимизирующее действие, является С2' ^-кривой для случая малого
возмущения интегрируемой системы по теореме Мозера о сохранении при v =
0. В каждом случае минималь является С2,13-кривой, когда v > 0. Сходится
ли минималь (в случае v > 0) к множеству, минимизирующему действие (в
случае v = 0) в С2' ^-топологии? Этого следует ожидать, но Мозер указал
на то, что его исходное доказательство не применимо в этой ситуации,
поскольку в нем используется теория преобразований. Для v = 0 С2' ^-
решение уравнения Эйлера является инвариантной кривой отображения,
сохраняющего площадь. Это интерпретация вариационной задачи в терминах
динамических систем позволяет применить теорию преобразований. Однако для
v > 0 такой интерпретации не существует и, похоже, нет никаких других
способов
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера 23
для применения теории преобразования. Тем не менее, Мозер утверждает, что
минималь сходится к множеству, минимизирующему действие в С2' ^-топологии
при v 4- 0 и приводит набросок доказательства, которое основывается на
квадратично сходящейся итерационной процедуре без использования теории
преобразований. Мозер выполняет свое доказательство в дискретном варианте
лагранжева формализма. Он называет это доказательство "лагранжевым" в
противоположность "гамильтонову" доказательству с использованием теории
преобразований.
В оставшихся четырех статьях этого тома Мозер приводит дальнейшее
развитие методов статьи "О построении инвариантных кривых и множеств
Мезера с помощью регуляризированного вариационного принципа". С точки
зрения Мозера эти методы естественно входят в теорию эллиптических
уравнений в частных производных. Три из этих статей связаны с
вариационной задачей, которую Мозер выбрал, чтобы проиллюстрировать свою
точку зрения. Он получил два основных результата: теорема существования,
обобщающая теорему, которую я доказал в [16] (существование "множеств
