КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
инвариантные кривые, близкие к окружностям, инвариантным относительно
кручения.
Очевидно, что без дополнительных предположений такие инвариантные кривые
не существуют. Если, например, G положительна, то после применения
отображения г возрастает, что исключает замкнутые инвариантные кривые.
Поэтому мы сделаем следующее предположение: всякая замкнутая кривая,
близкая к окружности г = const, т. е. кривая с уравнением
где f'(0) достаточно мала, пересекается со своим образом. Если мы
потребуем, чтобы отображение (1.2) сохраняло площадь и окружность г = а,
то вышеупомянутое предположение будет, очевидно, выполнено1. Отметим,
что, в частности, образ окружности г = const должен пересекаться с этой
окружностью, т. е. G(r, в) при каждом фиксированном значении г имеет по
крайней мере один нуль.
1 Имеются, однако, и другие ситуации, в которых это условие может быть
выполнено, например в случае обратных систем, см. [4].
{
01 = 0 + a(r) + F(r,9), П = г + G(r, 0),
(1.2)
г = т = / (в+2ж),
(1.3)
30 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
В теореме 1 утверждается, что при указанных выше условиях и для
достаточно малых F и G замкнутая инвариантная кривая действительно
существует, если только функции F, G достаточное число раз
дифференцируемы. В формулировке теоремы мы используем следующее
обозначение: если h(r, в) есть s раз непрерывно дифференцируемая функция,
то мы определим s-ю дифференциальную норму, положив
\h\, = sup
01 + 02 ^ S,
где г, в изменяются внутри области определения h.
Теорема 1. Для данного е > 0 и данного целого s ^ 1 при нижеследующих
предположениях отображение (1.2) имеет замкнутую инвариантную кривую
Г " = "-+*<"'),
1 г = г" + ,{"'), 1 '
такую, что периодические с периодом 2тт us раз непрерывно
дифференцируемые функции р и q удовлетворяют неравенству
|р|* + Мо < ?• (1-5)
Упомянутые предположения состоят в следующем. Пусть отображение (1.2)
таково, что любая замкнутая кривая (1.3), близкая к окружности,
пересекается со своим образом. Предположим далее, что Ъ - а ^ 1 и что для
некоторой постоянной с0 > 1
е"- " ^ С с. (1.6)
Наконец, для некоторого положительного <$0 = r)o(c. s, Со) и целого I = =
l(s) функции F и G имеют непрерывные производные до порядка I
включительно и удовлетворяют неравенствам
\F\0 + \G\0<50, (1.7)
Hz + in + in < со- (1.7')
Кроме того, мы утверждаем, что отображение, индуцированное на кривой
(1.4), задается равенством
в[ = в'+ а{г0). (1.8)
§ 1. Введение
31
Замечание. В действительности существует много инвариантных кривых, и их
можно различать с помощью (1.8) по их числам вращения а(го) = из. В самом
деле, будет показано, что для произвольного наперед заданного из из
интервала
а(а) + е < из < а(Ь) - е (1.9)
и такого, что число из/2тг не может быть хорошо приближено рациональными
числами
|пиз - т2п\ ^ еп~3^2 для всех целых п > 0, т, (1-10)
существует кривая (1.4) с числом вращения из = а(го).
3. В 1954 г. А. Н. Колмогоровым [6], [7] была сформулирована теорема,
аналогичная теореме 1. В утверждении Колмогорова речь идет о
существовании почти периодических решений аналитических гамильтоновых
систем дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым. Настоящая
работа возникла из попытки проверить справедливость теоремы Колмогорова,
доказательство которой еще не опубликовано1. Мы предпочли сформулировать
это утверждение в его простейшей форме, в которой оно может быть описано
геометрически. Обобщение на случай высших размерностей не должно привести
к новым трудностям.
Настоящий результат отличается от [7] в следующем пункте. В работе А. Н.
Колмогорова дифференциальные уравнения предполагаются аналитическими по
всем переменным, в то время как мы предполагаем существование только
конечного числа производных. Этот факт не имеет, конечно, практического
значения, так как число I в (1.7') очень велико (формула (2.4) дает I =
333 для а = 4, s = 1), но он может быть интересен в принципе.
В связи с этим отметим, что нахождение инвариантных кривых с любой
степенью точности не представляет труда, если доказано их существование.
В аналитическом случае, например, нетрудно получить разложение по
степеням малого параметра. Основной вопрос состоит в том, сходятся ли
полученные ряды. В нашем случае мы построим итерационный процесс, который
будет сходиться очень быстро. Быстрая
1Тем временем появилась работа В. И. Арнольда [8], в которой
рассматриваются другие задачи, связанные с "малыми знаменателями", такие,
как задача Данжуа о дифференцируемых отображениях окружности и др. Кроме
того, Арнольд анонсировал (см. [9], [10]) результаты, обобщающие
утверждения А. Н. Колмогорова 1954 г. С другой стороны, замечание
Колмогорова (см. начало стр. 23 в [8]) указывает, по-видимому, на то, что
появляющиеся в этих исследованиях ряды могут расходиться.
В [8] доказана сходимость упомянутых рядов. - Прим. ред.
32 Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь
