КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
В сноске Мозер отмечает, что "из этой теоремы следует устойчивость
эллиптических неподвижных точек общего вида для ото-
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера
15
бражений, сохраняющих площадь". Результат Мозера об устойчивости
опубликован в [12]. Его книга [15] содержит более подробное изложение.
Тем самым разрешена фундаментальная задача, предложенная Дж. Д.Биркгофом
([7], стр. 662-663) после глубокого изучения идей Пуанкаре. Пусть / -
диффеоморфизм открытой области на плоскости, сохраняющий площадь и
ориентацию, с неподвижной точкой в начале координат. Начало координат
называется устойчивым по Ляпунову, если для него существует произвольно
малые инвариантные окрестности и называется неустойчивым по Ляпунову в
противном случае.
Пусть dfo - производная / в начале координат. Пусть Лии - собственные
значения / в нуле. Поскольку / сохраняет площадь и ориентацию, \из = 1. В
случае | Trd/o| < 2 Л и ш являются сопряженными точками на единичной
окружности в комплексной плоскости и не являются вещественными. При этом
начало координат называют эллиптической неподвижной точкой /. Это
единственный случай, который интересен с точки зрения устойчивости.
В большой статье ([7], стр. 111-229) Биркгоф среди других объектов
изучает нормальные формы для эллиптических неподвижных точек. Методы
Биркгофа показывают, что в случае, когда / является С|(r)+1-диффеоморфизмом
и Л не является корнем из единицы ни первой, ни второй, ни третьей, ...
ни q-той степени, существует аналитическая система координат х, у с
центром в начале координат такая, что dydx являются стандартной формой
площади на Ж2 и
f(z) = N(z)+R(z), N(z) = z exp(2iriip(r2)), R(z) = 0(rq+1),
[9/2]-i
rj\e z=x+iy, r=y/x2+y2 и ip(r2)= Y Pjr23 ¦ Здесь /30,... ,/3[g/2]-i -
3=0
вещественные числа. Они являются симплектическими инвариантами / и ехр(2-
7гг/Зо) = А. Числа /3±, (32, ... называются первым, вторым, ...
инвариантами Биркгофа.
Мозер показал, что если q ^ 4 и, по крайней мере, один из инвариантов
Биркгофа не равен нулю, а / достаточно большое число раз дифференцируема
(несколько сот раз в исходной статье), то начало координат является
устойчивым. Например, в случае q = 4 существует лишь один инвариант
Биркгофа. Для этого случая утверждение теоремы Мозера будет таким: если А
не является третьим или четвертым корнем из единицы, первый инвариант
Биркгофа не обращается в ноль
16
Дж. Н. Мезер
и / достаточно большое число раз дифференцируема, то начало координат
является устойчивым. В частности, устойчивость является следствием
условия на 3-струю функции / в начале координат, и это условие
выполняется для открытого плотного множества 3-струй.
Арнольд написал в [2], что Колмогоров ожидал справедливость теоремы
устойчивости Мозера в аналитическом случае при предположении, что А не
является корнем из единицы, но ни в дифференцируемом случае, ни тогда,
когда А является корнем из единицы. (Намного позже Мозер показал в статье
"Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой для
закручивающих отображений"1, что достаточно предполагать, что А не
является кубическим корнем из единицы, если при этом первый инвариант
Биркгофа не обращается в ноль.) Причина, по которой Колмогоров мог
ожидать наличие подобного результата, кажется очевидной. Нормальная форма
Биркгофа (4) задает / как малое возмущение интегрируемой системы.
Нормальная форма N(z) является отображением, аналогичным интегрируемому.
Оно сохраняет окружности г = го с центрами в начале координат и
поворачивает каждую такую окружность на угол Условие неравенства нулю
одного из
инвариантов Биркгофа /3j совпадает с условием "закручивания" - из него
следует, что угол, на который поворачивается окружность г = гц,
изменяется вместе с го- Это соответствует колмогоровскому условию
невырожденности det ^ j ф 0.
Так же можно рассуждать, почему Колмогорову не удалось добиться успеха в
этой области. Итерационный метод Колмогорова сходится, когда возмущающий
член является малым в (7ш-топологии, но, по-ви-димому, не сходится, когда
возмущающий член мал в С^-топологии. Даже когда А не является корнем из
единицы, максимум того, что теорема Биркгофа утверждает о поведении R(z),
это лишь 0(г°°). Другие сложности при применении теоремы Колмогорова
связаны с "малым закручиванием". В формулировке Колмогорова необходимо,
чтобы зна-
/ Я2 1
чение det (
д1г
устойчивости, аналогичное условие не выполняется, поскольку размер
закручивания становится произвольно малым при г -> 0. Таким образом,
неизвестно, будет ли возмущающий член R(z) достаточно малым для
применения теоремы Колмогорова.
Н \
d^.2° J было отделено от нуля, но в случае теоремы Мозера об
1См. стр. 310.
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера 17
Мозер преодолел эти сложности в работе "Об инвариантных кривых
отображений кольца, сохраняющих площадь", используя метод, который в
дальнейшем стал известен, как метод Нэша-Мозера. Обычно говорится, что
