Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 7

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 136 >> Следующая

Мозер обобщил теорему Колмогорова из аналитического случая на
дифференцируемый случай, но, я думаю, также можно сказать, что он обобщил
теорему Колмогорова на случай "малого закручивания".
МакКин (МасКеап) отмечает [21], что КАМ-теория опровергла традиционную
точку зрения. Считалось, что "большая часть малых возмущений
(интегрируемых гамильтоновых систем) должна приводить к "метрической
транзитивности". Ферми даже "доказал" это в 1923 году". (Однако МакКин
также указал, что еще до работы Колмогорова численные эксперименты Ферми,
Паста и Улама поставили под сомнение эту точку зрения.)
Биркгоф сформулировал без доказательства различные утверждения ([7], стр.
662-663, стр. 221) о том, что ему, по-видимому, казалось верным. Эти
утверждения равносильны предположению, что кол-могоровская теорема о
сохранении была ложной. Однако он указал ([7], стр. 662-663), что его
гипотезы не были доказаны даже для дифференцируемого случая.
"Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные
уравнения"1 - знаменитая серия лекций, прочитанная Мозером во время
летнего семестра в институте C.I.M.E. В первых двух главах он описывает
то, что стало известным в дальнейшем как "метод Нэша-Мозера". По словам
Мозера, этот метод для "построения решений нелинейных задач с помощью
итерационного процесса, в котором на каждом шаге необходимо находить
приближенное решение линейной задачи".
В первой главе он представляет идеи этого метода. Во второй главе он
применяет его к некоторым задачам, которые несколько проще, чем теорема
Нэша о вложении и теорема устойчивости в гамильтоновой механике. В
третьей главе он обсуждает доказательство Колмогорова, обобщение этого
доказательства Арнольдом и предлагает дальнейшее обобщение, сделанное им
самим и вновь на дифференцируемый случай. Он доказывает теорему Зигеля о
центре с помощью метода Колмогорова, отметив, что предположения,
необходимые для применения метода
1См. стр. 58.
18
Дж. Н. Мезер
Колмогорова проще, чем предположения Зигеля. Доказательство теоремы
Зигеля позволяет Мозеру продемонстрировать основные свойства
доказательства Колмогорова на более простой задаче.
В первых двух главах Мозер обсуждает решение функционального уравнения
ДР(ь) = /, когда
a) известно "приближенное решение и = щ такое, что достаточно близко к /
и
b) линеаризованное уравнение &'(w)v = g допускает решение относительно v
для любого заданного w в окрестности гщ".
В случае теоремы Зигеля о центре и задачи устойчивости в гамильтоновой
механике невозможно добиться выполнения условия Ь), выполнена лишь
разрешимость уравнения = g. Примечатель-
но, что метод Колмогорова позволяет построить быстро сходящуюся
последовательность приближений в этих условиях. Ключевым понятием в
методе Колмогорова является то, что, поскольку решения линеаризованной
задачи являются координатными преобразованиями, достаточно решить
линеаризованное уравнение лишь для w = щ.
Теорема Зигеля может считаться предпосылкой для теоремы Колмогорова в том
смысле, что это была первая теорема, в которой была преодолена проблема
"малых знаменателей". Зигель использовал метод мажорант, для которого
требуется изощренные оценки. Считается, что он надеялся решить задачу
устойчивости в гамильтоновой механике с помощью метода мажорант, но если
это так, то ему этого не удалось. Лишь недавно Элиассон (Eliasson) смог
доказать теорему Колмогорова с помощью метода мажорант.
В конце третьей главы Мозер обсуждает теорему Арнольда [4] о векторных
полях на n-мерном торе и обобщает ее из случая аналитических на случай
дифференцируемых функций. Примечательно, что его обобщение теоремы
Арнольда на случай дифференцируемых функций основано не на методе Нэша-
Мозера. Вместо этого он выводит версию теоремы Арнольда для
дифференцируемых функций из арнольдовской (аналитической) версии,
используя старые результаты Бернштейна и Джексона из теории
аппроксимаций. Мозер отмечает, что этот "подход следует идеям Бернштейна,
который характеризовал дифференцируемые функции их аппроксимациями с
помощью аналитических функций". Он также отметил, что в этом подходе
требуемое количество производных снижается от нескольких сотен до всего
нескольких производных.
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера 19
"Лекции о гамильтоновых системах"1 представляют собой расширенное
изложение некоторых вопросов из теории гамильтоновых систем, связанных с
теоремой устойчивости Мозера.
Они содержат интересное обсуждение устойчивости лагранжевых точек в
ограниченной задаче трех тел на плоскости. В этой задаче рассматриваются
два тела с положительными массами mi и т,2 и третье тело с нулевой
массой. Все три тела лежат в углах равностороннего треугольника на
плоскости, который вращается с постоянной скоростью вокруг центра масс
точек mi и m2. Задача устойчивости заключается в том, будет ли орбита
тела нулевой массы всегда оставаться вблизи исходной круговой орбиты при
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed