Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
со±^со±(Л), е(со, X)^(o-^r^ + ^((oI)v>.
Так как функции Ф^г, по определению (2.5.4), отличны от нуля только на
половине границы единичного круга, то контур интегрирования дКт'х(А)
имеет положительное направление и принадлежит двум дугам, соединяющим
точки т'с - т' и "вт с со_т. Обозначим для дальнейшего дугу, соединяющую
в положительном направлении точки coi и со2 и лежащую на границе
единичного круга, через сй1( со2. Тогда
dKi'x (А) = т\ - т' П сот> co_t. (2.5.54)
Довольно утомительное обсуждение знакового множителя е(со, А) вынесело в
приложение Б. В результате имеем
( signlm(i4n + Л12) при <ве -I, <в_,
е (со, А) = j (2.5.55)
I -sign Im (Лп -f ^12) при coeco_,-1.
Интеграл в формуле (2.5.53) сходится при со+ ф ±1, "в_ ф ±1 и -1 < Re (1
+72к)<0- Последнее условие выполняется для основной и дополнительной
серий. В силу двух первых условий интересующие нас матричные элементы в
базисе Н2 существуют как функции в обычном смысле только на подмножестве
SU( 1, 1 ) - S, где
S= (J SX'X, Srt = {4eS(/(l, 1):ш,ДЛ) = т}. (2.5.56)
X', X=±
Для точной характеристики множества особых точек SczSU(1, 1) используем
разложение группы SU (1, 1), указанное Ивасава
158
М. ШААФ
(ср. с книгой Хельгасона [25]):
SU( 1, 1 ) = HxNH'2, ch 1/2 sh 1/2 \
. sh 1/2 ch ?/2 /
Hi = <
- OO < I < OO
Н2Ц12> --M>
1 + / -
N=-
. ж
- OO < X < OO
1
(2.5.57)
О ^ ф < 4n
' ei(№ 0 ч 4 0 e-^2
Легко найти подгруппу стабильности, отвечающую со=1:
U
SU( 1, 1) Используя элемент
Г - ia3 =
1Л-1 = 1} = NH2 = S
++•
(2.5.58)
< о
о - i
' SU (1, 1),
(2.5.59)
мы получаем
s++ = nh2,
s+_ = ynh2
S-+ = nh2y
-1
1-1
s__ = ynh2y~
(2.5.60)
Так как множество S обладает более низкой размерностью, чем вся группа SU
(1, 1), то матричные элементы в базисе, связанном с подгруппой Я2,
являются обыкновенными функциями почти для всех А е SU (1, 1) с точки
зрения меры Хаара. Для более общего определения матричных элементов
следует прибегнуть к теории обобщенных функций. Так, например, для Л е Я2
= S++П S матричный элемент определяется формулой (2.5.49). Множество
особых точек S разделяет группу SU (1, 1) на шесть отдельных связных
частей, которые задаются следующими условиями:
/={Лс=5?/(1, /'s(4s SU (1, II = {A^SU (1, //' = [Ле5У( 1, III^{A^SU( 1,
Imсо. > 0,
Imсо. < 0,
Im со. > 0,
Im co. < 0,
Im co+ > 0,
Im co, < 0,
Im co_ < 0}, Im co_ > 0]. Im co_ > 0, Im co_ < 0, Im co_ > 0, Im co_ < 0,
Reco+ > Re co_}, Reco+ > Reco_}, Reco+ < Re co_}, Re co+ < Reco_}.
(2.5.61)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 159
Соотношения (Б.13) и (Б. 18) из приложения Б позволяют определить эти
части также другими условиями:
1 = {А е SU (1, 1) : 0 < Im+ Im_< 1, Re+ Im+<0, Re_ lm_<0], Г = [A e SU
(1, 1): 0 < Im+ Im_< 1, Re+ Im+>0, Re_ lm_>0}, 11= {A e SU (1, 1): Im+
Im_ < 0, Re+Im+>0, Re_ Im_ < 0}, //' = )Ле5[/(1, l):lm+lm_<0, Re+Im+<0,
Re_ Im_ > 0}, III={A<=SU( 1, 1): Im+Im_ > 1, Re+Im+>0, Re_ Im_ < 0}, III'
= [A e SU (1, l):Im+Im_>l, Re+Im+<0, Re_ Im_ > 0},
(2.5.62)
Im± = Im± (A) = Im (Лп ± Л12), Re± = Re± (Л) = Re (Лп ± Л12).
Нет необходимости вычислять по отдельности интегралы для каждой из шести
частей, так как все интегралы могут быть получены путем использования
условий симметрии из интегралов, записанных для частей I и II. С помощью
элемента reS?/(l, 1), определяемого формулой (2.5.59), получим
со±(ГЛ) = - <о±Л, со± (ЛГ-1) = сот (Л). (2.5.63)
Операция Л->ГЛ связывает области I и Г, II и III', II' и ///; операция Л-
> ЛГ-1 связывает области I и Г, II и III, II' и ///'; операция Л->ГЛГ-1
связывает II и II', III и III', оставляя инвариантными области I и Г.
Таким образом, путем применения одной из этих операций можно перенести
любой элемент Ле5[/(1, 1) - S в одну из частей I или II. Так как,
согласно формулам (Б. 15) и (Б. 16), знаковый множитель е(со, Л)
удовлетворяет условию симметрии
т'е(-со, ГЛ) = е(а, Л) = те (со, ЛГ-1) при coed Кх'х{А), (2.5.64)
а при подстановке со-"- - со контур интегрирования дК^'х переводится в
дK-v, х (Л) и контур дКх'х (ЛГ-1) совпадает с дКхг. -х (Л), то из формулы
(2.5.63) мы получаем следующие условия симметрии для матричного элемента
(Л):
г!С (Л) = T'V-'t', -1VA (ГЛ) = ТХУ?7/, -г, -л(ЛГ_')=? ; ;
= (т'т)хV%, _V, -Т. -%{А~]'). (2.5.65)
160 М. ШААФ
Согласно формуле (2.5.50), это приводит к следующим соотношениям для
матричных элементов представления Usu\i'll):
?/st/tb i) (А)ы = Гх'г (К')'1 Usulu 1) (ГА)_, , =
= t/su(i%Ur-1)Vi _"ГХ-'(Я) =
= гх'1 (КГ1 uSi/iH 1) U_lt)_v, -к гх-' (К),
Г". I (Я) s ЛГ ¦' (- Я) а, (а3)к N*' (А) =
_ Г (- I - х/2 + /Я) Г (1 + / + х/2 + Д)
(2.5.66)
X
/sinя (/Я - y) (-1)иsin
ХМ ( х\
\ sin я I sin я I/Я + - I
Легко видеть, что
Usutf. 1) (Г)^ = Гх'1 (Я) б (Я' + Я). (2.5.67)
Эти соотношения позволяют вычислить матричные элементы для каждой из
шести частей группы SU (1, 1), если они известны в областях I и II.
Добавим также к формуле (2.5.66) несколько более удобное соотношение
симметрии. Так как
