Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим более частный случай, когда G-морфизм Т совпадает с самим F
[см. уравнение (1.6)], т. е. с представлением (с точностью до множителя
/) алгебры Ли на Ж. При этом F /\F - iF. В теории элементарных частиц
часто используется группа SU (3), F У F называют тогда оператором D-связи
(см. разд. 5.16).
Следуя школьной традиции, обозначим закон композиции в алгебре Ли для
группы SU (2) значком X (символизирующим векторное произведение):
[F(&), F(b)\ = iF(&Xb), (1.27)
а структурные постоянные обозначим через
е(Хе/ = 281,л. (1-28)
k
Таким образом, если А - векторный оператор [А(е*) = А*], то
(А ХА), = 2 ZijkAjAk = 4 *t,k [Л,, Ak\. (1.29)
1. k
') Здесь величины fl k и - структурные постоянные, введенные Гелл-Манном.
30
Л. МИШЕЛЬ
Замечание. Если даны два ^-тензорных оператора А и В, то можно определить
такие операторы, как
Л V Я = А (r) Я ° v', ЛЛЯ = Л(r)Я°Я'
и, в частности, А X Я- Если Л = Я, то это сводится к урав-нению (1.26).
1.6. ЕЩЕ О ГРУППЕ SU (2)
И ЕЕ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРАХ
Для группы SU (2) симметрическая алгебра V для присоединенного
представления тривиальна: dim (2? (r) CS, ^)su^ =
= dim (& A 30sc/(2)= 1.
В самом общем случае, когда мы имеем три НП, действующие в пространствах
#/" /2, #/,,
dim Нош (#/, (r) <gf/2, 8^° = A(/i, /2, /з) = 0 или 1, (1.30)
где А Оь Ь /з) = 1. если | j{ - /2 К /3 < /1 + /2 (условие треугольника)
и Л = 0 в остальных случаях. Эквивалентную формулировку этого результата
физики называют теоремой Вигнера - Эккарта, а группы, обладающие
свойством (1.30), Вигнер назвал просто приводимыми.
В этом разделе мы будем часто ссылаться на две книги: работу [42] -
сборник репринтов и оригинальных статей под редакцией Биденхарна и ван
Дама и работу [43] - сборник, посвященный памяти Рака.
Во втором сборнике на стр. 131 - 136 Вигнер доказал следующую теорему для
конечных групп.
Теорема. Пусть G - конечная группа, а Н - ее подгруппа. Тогда следующие
условия эквивалентны.
а) При ограничении на Н произвольного НП группы G кратности, с которыми
входят в разложение НП группы Н, не превышают 1.
б) Кольцо классов элементов группы G, сопряженных относительно подгруппы
Н, является абелевым.
Разъясним условия "а" и "б" более подробно.
а) Пусть дано НП группы G в пространстве Ж. Его ограничение на
подгруппу Н, вообще говоря, приводимо, и при разложении кратности
входящих НП группы Н не превышают 1. Иными словами, коммутант
представления группы Н (т. е. множество всех ограниченных элементов в ?
(Ж), коммутирующих со всеми операторами представления группы Н, которое
есть алгебра), является абелевой алгеброй.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
31
б) Пусть дан элемент аеС. Класс сопряженных элементов относительно Н -
это множество Л = {/гаЛ-1, yh^H}. Если даны два таких класса А и В, то мы
определим их произведение А ¦ В как множество {ab, аеЛ,6еВ). Условие "б"
означает, что для любой пары классов справедливо равенство А-В = ВА. По-
видимому, нетрудно распространить доказательство теоремы Вигнера на
компактные группы.
Примерами пар групп и подгрупп, удовлетворяющих этой теореме, являются 5
(л) и S (п-1), U (п) и U (п-I)1).
Используя закон умножения в группе, можно доказать, что прямое
произведение SU (2) (r) SU (2) и диагональная подгруппа этой группы
удовлетворяют условию "б". Из теоремы Вигнера для них следует соотношение
(1.30). Если это возможно, было бы интересно распространить
доказательство Вигнера на локально компактные группы типа I2).
Другое свойство группы SU (2), которое мы уже отмечали, заключается в
том, что любое ее. НП эквивалентно контра-градиентному представлению. Для
произвольного представления DI это определяет изоморфизм С между
пространством <$j представления Dj и дуальным к нему пространством &j.
Изоморфизм С обладает каноническим свойством
СТ = (-[)21С, (1.31)
где Ст - матрица, транспонированная матрице С. Физики нормируют С
условием
СТС = 1. (1.32)
Теперь мы подготовили вас к понятию об исчислении, разработанном
независимо Вигнером и Рака и необходимом физикам для того, чтобы
полностью использовать в атомной физике (а также в ядерной физике и
многих других разделах квантовой физики) инвариантность относительно
вращений. Многие из чисел в атомных спектрах (расстояния между соседями в
семействе спектральных линий, относительные интенсивности линий
') После этой лекции профессор Дж. Макки с помощью своей теории
индуцированных представлений привел доказательство для компактных групп.
2) В 1941 г. Вигнер доказал для конечных групп (статья перепечатана в
сборнике [42]) другое свойство, эквивалентное свойствам "а" и "б". Пусть
? (g) - число квадратных корней элемента g в конечной группе G, a v (g) -
число элементов группы G, коммутирующих с g. В конечной группе
2 lv ~ ? (#)3] ^ Равенство осуществляется в том и только том
g <=??
случае, когда группа G является просто приводимой.
32 Л. МИШЕЛЬ
и т. д.) оказываются алгебраическими функциями коэффициентов,
