Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
представления dim Horn X Х(9 А 9, 9)° = 1 для всех простых компактных
групп Ли и соответствующая антисимметрическая алгебра совпадает с самой
алгеброй Ли.
В гл. 5 будут рассмотрены два примера симметрических алгебр, однозначно
определенных на вещественном пространстве НП группы G - SU (3) (r) SU (3) с
dim Нот (8 V 8, 8)а = 1. Для присоединенного представления простой
компактной алгебры Ли dimHom (3 \/3, 3)° = 0 или 1. Последнее значение
осуществляется, например, для группы SU (п) при п > 2. Симметрической
алгеброй для группы SU (п) начали пользоваться в литературе по физике
элементарных частиц после того, как
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
27
она была введена Гелл-Манном; мы рассмотрим лишь некоторые свойства этой
алгебры.
Пусть Зп- (п2- 1)-мерное вещественное векторное пространство эрмитовых
пХя-матриц со следом, равным нулю. Действие элемента и е SU (п) на
пространстве Зп (векторном пространстве алгебры Ли) дается формулой х-
+ихи~1 = ихи . Эвклидово скалярное произведение
(*, #) = 4 SP ОЧ/) (1.18)
является инвариантом. Закон умножения в алгебре Ли группы SU (п) имеет
вид
xAy = - j(xy - yx)s= - ±[x,y]^ (1.19)
и соответственно для симметрической алгебры ')
хУ у=^{х,у}-^-{х, у)\, {х, у) =ху + ух. (1.19а)
Заметим, что для " = 2 этот закон тривиален: х V У - 0.
В физической литературе (главным образом для л = 3) вводится
ортонормированный базис {е{, = 6^ (/, /= 1, ...; til-1),
а для структурных постоянных fijk, d{jk пользуются традиционными
обозначениями е{ Д ej = 2 ftjkeki ei V е/ = 2 dijkek. Ис-
пользуем обозначения F (а) и D(a) для линейных отображений на 3:
F{a)x - a/\x, D(a)x = a\/x (1.20)
[в матричном виде F(el)ik = fi,k, D {ej)ik = dijk].
Относительно скалярного произведения (1.18) отображение F (а)
антисимметрично, D(a) симметрично. Отображения D и F являются тензорными
операторами е Нот (3, 9?{3))su(n\ так что из теоремы, сформулированной
в конце разд. 1.3,
следует, что SpD(a) = 0. Как известно, централизатор эле-
мента х в алгебре Ли SU (п), т. е. множество {у, г/Дх = 0}, является
подалгеброй Ли размерности п - 1 или выше. Если ее размерность равна п -
1, то это абелева подалгебра. Она называется подалгеброй Картана 92 х
элемента х. (Все подалгебры
') Эта алгебра не является иордановой алгеброй. Однако можно начать с
представления, имеющего размерность п2 и реализуемого на эрмитовых п X n-
матрицах. Соответствующая симметрическая алгебра является норда-новой
алгеброй.
28
Л. МИШЕЛЬ
Картана могут быть преобразованы одна в другую при помощи преобразования
группы G.) Подалгебра Т?х является линейной оболочкой (п-1) линейно
независимого вектора: х, х V х, {х V х) V х = х V (х V ¦*) и т. д. и
является также подалгеброй относительно закона ,,V". Корни SU (л)-это
решения уравнения гп - (г, г) гп~2 = 0. Мы нормируем их условием (г, г) =
1. В подалгебре Картана 9? существует л (л- 1) нормированный корень¦ rk
[если г является корнем, то (-г) - тоже корень]. Для каждого ае? спектр
оператора F(а) имеет (л- 1) нуль на подпространстве пространства а на
ортогональном к нему подпространстве w :
спектр F(a)\^L - {i(a, ги)}- (1.21)
Для л > 2 определим
qk = rkV rk = (-rk) V(~rk). (1.22)
Тогда
(<7b<7fc)=l, (1.22а)
и эти величины являются идемпотентами в V-алгебре:
^V^=y=0wqk- (L23)
Мы назовем их "псевдокорнями" [они являются весами алгебры SU (л)], так
как для любого be? они удовлетворяют условию
спектр Д(а)|^±=(-^-^-(?ь а) = (а, rk V г*)}, (1.24)
причем все собственные значения имеют кратность по крайней мере 2.
Обозначим через Я е Нот (9 А 3, 3)SUn\ v е Нот (9 V 3, щ5и{п)
ГОМОМОрфИЗМЬ1 векторных пространств
Я (х <8> у) = х Д у, v (х (r) у) = х V у
и рассмотрим гомоморфизмы правые обратные к ним:
Я о Я' = тождество на 3, v ° v' = тождество на 3. (1.25)
Заметим, что Я и Я' могут быть определены для любой полу-
простой алгебры Ли. Как мы уже сказали, Я' и v' определяют коалгебры на
%. Если Т есть ^-тензорный оператор, то, используя отображение Т
диаграммы 2, можно определить ^-тензорные операторы
ТА 71 = f о Я' и T\J Т =Т (1.26)
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
29
Действуя последовательно, получаем
(...((TXlT)xT)...)XkT, (1.26а)
где тi-это либо Д, либо V. Для физиков, которые привыкли пользоваться
координатами, в пространстве октета группы SU (3) получаем ')
*-'(ед = - j ^fi/ke, (r) ek, V (et) =-| ^ йч^1 (r) ек.
I.k I.k
Если обозначить T(et)=T{, то
(Т AT)t = - 12 fijkTjTk, (TV Л; - 4 S ^ijkT jTk.
I.k i.k
Заметим, что когда группа G компактна, a dim Нот (S'XS'! S)°- 1 (т-или Д,
или V), мы можем, конечно, определить величины Т А Т, Т\/Т для любого
вещественного неприводимого (^-тензорного оператора, так как существует
НП группы G на $, которое ортогонально и оставляет инвариантным эвклидово
скалярное произведение. В самом деле, в этом случае операторы A,(v)
сюръективны и осуществляют изоморфизм между (KerA,)'L и <% [между (Кегу)х
и <$\ так что мы можем определить операторы правые обратные к ним.
