Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
уровней энергии атома водорода необходимо найти спектр оператора
D2 7рЧ
я-жг-тг- <2Лб>
Впервые с квантовой точки зрения атом водорода рассмотрел
Паули в 1926 г. [52] еще до опубликования уравнения Шре-
дингера. Паули изучил абстрактную алгебру, генерируемую операторами R, Р,
Н и уравнениями (2.1), (2.2) и (2.15). Момент количества движения L = RXP
является интегралом движения. Другим интегралом движения служит вектор
Рунге - Ленца
A = ~(LXP - PXL) + ^R с Л = tnZe2. (2.17)
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 41
Заметим, что имеет место тождество ^-(LXP-PXL) = (R-P)P-R(P2)-^P =
= Р(Р R) - (P2)R + i/jP, (2.18) с помощью которого можно проверить, что
[А, Н] = О, [L, Н] = 0. (2.19)
Напомним, что величина el/k равна знаку перестановки (1 2 3) или нулю,
если какие-либо два индекса равны. Далее
( / к
мы воспользуемся условиями Эйнштейна для суммирования, т. е. будем
подразумевать, что по повторяющимся индексам производится суммирование.
Находим
[Li, Lj] = iheijkLk, [L[, Aj\ = ihzijkA^, (2.20)
[Au Aj\ = - ih2mHeltkLk, (2.21)
L • A = A ¦ L = 0, (2.22)
A2- 2mH(L2 + h2) = (Ze2m)2\. (2.23)
Рассмотрим теперь связанные состояния атома водорода. Они соответствуют
спектру оператора Н < 0. Пусть Р_ - проекционный оператор на эти
состояния. Для произвольного оператора X введем обозначение Х~ = ХР-. Из
уравнений (2.19) следует, что когда X есть L (а) или А (Ь), то
Р-ХР_ ¦ ХР_ = Р_Х = Х~.
Кроме того, (-2тН~) является положительным оператором,
/________________ч-'/а
имеющим обратный. Пусть (-2тН ) -положительный квад-
ратный корень из оператора, обратного к оператору (-2тН~).
Определим оператор КТ = AJ (2тН~) /а. Тогда уравнения (2.20) - (2.23)
можно переписать в виде
[¦у Li , -g- L] j = - -j-ziikKk, (2.20a)
[^КГ, ~КТ}-=-^в1!кЬТ, (2.21a)
L" • K" = K" ¦ L~ = 0, (2.22a)
ж К"2 + -gr L-2 - [-^Lf (-2mH)~x. (2.23a)
42
Л. МИШЕЛЬ
Наконец определим операторы
j(±,=iLM±iK(_,> (2.24)
после чего предыдущие уравнения дают
У/Ч = isuA*, [У)+),;И = 0, (2.25)
J(+)2 = = - l). (2.26)
Спектр оператора J(+)S хорошо известен: /(/+1) = (я2-1)/4, где 2/ + 1 =п
- положительное целое число. Таким образом, спектр энергий связанных
состояний атома водорода имеет вид
(Ze2)2 т -- Z2 / е2 \2 тс2 - 1 \9 <> /г> ПГ7Ч
8л=- =_^ = {Za)2mc2t (2>27)
2я2 я2 \ Йс / 2 2я2
где /г - положительное целое число, а
" = ?"Т5ШЙП7Г <2-28)
есть постоянная тонкой структуры, безразмерная фундамен. тальная
физическая константа.
Некоторые физические комментарии
Отношение энергии связи электрона к энергии покоя есть (ejmc2) = (-
(Za)2/2rt2). Значение любой физической наблюдаемой мы можем вычислять как
произведение числа на величину, имеющую ту же размерность, что и исходная
величина, и построенную из постоянных е, й, т, с. Например: длина h/mc =
= 3,86 • 10"" см, энергия тс2 = 0,51 • 106 эВ, время й/тс2 = = 1,28 • 10-
21 с. Безразмерное число является функцией величины а. А это есть
значение наблюдаемой величины в системе единиц, где й = т = с= 1. Такой
системой мы и будем в дальнейшем пользоваться; в этой системе а является
значением величины е2. Например,
(ld = ZaJTr~ (т10~3см) ' = (у ангстрем) •
Заметим, что наше рассмотрение относится не только к связанному состоянию
атома водорода р+е~ (тр = 1836ше) (ядро может быть также ядром дейтерия ~
2тр), но и к позитронию е+е- (ш, = т2), мюонию ц+е~ (т^ = 207те), ц-
атому, я-атому, цонизованному иону гелия Не+ и т. д.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
43
Еще о групповых аспектах
Состояния с энергией е" являются собственными состояниями операторов
J(+)! и J<-)J и образуют пространство ЖпМП (/, /) группы 50(4), причем Жп
имеет размерность
(2/+ 1)2 = п2. (2.29)
Алгебра Ли физических вращений (L) является диагональю в алгебре Ли SU
(2) (c)SU (2) - 50 (4), так что представление группы вращений в
пространстве Жп НП (/,/) = [(я - 1)/2, (я - 1)/2] группы 50(4) сводится к
О',/) 150(3) = (r)^ А. (2-30)
т. е.
/ = О, 1, я- 1. (2.30а)
Заметим, что тривиальное представление для каждого я появляется только
один раз, а из теоремы взаимности Фробе-ниуса мы знаем, что представление
(c)3=0 (/,/) = С/* (2.31)
является представлением группы 50(4), индуцированным тривиальным
представлением группы 50(3). Иными словами, Р-Ж = i?2 (функций на 53),
поскольку сфера 53 является однородным пространством 50(4)/50(3). (Этот
факт был использован Фоком [53], см. также работу Хюльтена [54].) Из
теории индуцированных представлений Макки следует, что равенство
(2.31) характеризует также содержание представления группы i?4 ? 50
(4) - Ец (группы движений четырехмерного эвклидова пространства),
индуцированного тривиальным представлением группы i?4D50(3) (группы
преобразований, оставляющих неизменным произвольно выбранный отличный от
нуля вектор пространства Р4). Это неприводимое представление группы ?4.
Мы можем также рассматривать Р_Ж как пространство НП группы 50 (4, 1),
полученного деформацией рассмотренного выше НП группы ?4. Однако
