Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 16

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 81 >> Следующая

физический смысл генераторов группы ?4 (представляющих элементы алгебры
Ли) или группы 50 (4, 1) не слишком понятен!
Спектром оператора Н на пространстве Р+Ж (пространстве положительных
энергий) является полуось (ф- О, оо). Мы не можем говорить о собственных
векторах оператора Н для положительной энергии. Эти векторы описывают
несвязанные состояния протона и электрона, и они необходимы при изучении
рассеяния. Однако поскольку оператор НР+=Р+Н является положительным,
можно определить оператор К+ = А Р+ X
44
Л. МИШЕЛЬ
X (2тНР+)~'!з. Операторы 1/HLP+ и 1/йК+ генерируют алгебру Ли группы
SO(3, 1). Это свойство впервые заметил и использовал Баргман [55]. Таким
образом, Р+Ж является прямым интегралом бесконечномерных унитарных НП
группы SO (3, 1),
Е
0


1-1 i-j- 1-<-4- -i i-i-i-h-i- 4
(Ыг
а *"j 1 0 -1 0 t -2-1 о г 2 -3-2-10123 -2/
г = 0 1 2 3 ...
s p a f
Фиг. 2.1. Состояния с наименьшей энергией на линейной энергетической
шкале атома водорода.
Существует бесконечное число состояний, энергия которых лежит в интервале
- е, 0. Это связано с медленным убыванием потенциала г"1 при г-юо.
Собственные векторы абелевой алгебры, генерируемой операторами Я, L2 и L
(е3), образуют ортогональный базис в гильбертовом пространстве связанных
состояний. Полный набор индексов, определяющих такое состояние, задается
квантовыми числами п, I, т, где п-положительное целое, I и т - целые
числа, такие, что 0^/^л-1, -l^.m^.1. Соб-
ственные значения операторов (тс2) Н, h~2L2, ft"*L(e3) соответственно
равны -
(Za)2/2л2, 1(1 + 1), т.
т. е. группы Лоренца. Это также пространство НП неоднородной группы SO
(3. 1), которую мы назовем группой Пуанкаре (наше НП описывает частицу со
спином 0 и фиксированной массой т > 0).
В атомах мы главным образом наблюдаем изучение или поглощение фотонов с
частотой
v= 2^-(eni -е"2). (2.32)
Соответствующая длина волны
- = n{Za)~2(\---------1-Л
v n2j
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
45
приблизительно равна величине (4/Za)-103, умноженной на "размеры" атома.
Все достаточно большие частоты, определяемые уравнением
(2.32), мы уже видели в спектре атомарного водорода. Фактически
существует "тонкая структура", связанная с относительным расщеплением
состояний с I Ф 0 порядка а2~72 1СГ4.
Теория предсказывает даже величину интенсивности спонтанного излучения
фотонов. Так как длина волны света велика по сравнению с размерами атома,
то свет представляет собой дипольное излучение1) и вероятность
спонтанного излучения фотона при переходе из состояния | х) в состояние |
у){Ех > Еу) равна
Ку = ^(Ех - Еу)3\ <x |eR | у) р. (2.33)
(Заметим, что (x|eR|x) есть среднее значение электрического диполя в
состоянии | х). Как мы увидим дальше, эта величина обращается в нуль.)
Интенсивность излучения света Nx атомами в состоянии | х) равна
ixy = Нх ~ (Ех - Еу)4е2 J] Sp 0PxRkPyRk). (2.34)
k
Из теоремы Вигнера-Эккарта (см. начало разд. 1.6) следует, что для всех
векторных операторов матричные элементы между двумя данными собственными
состояниями | х), \ у) оператора L2 коллинеарны.
Пример. Для собственных состояний | х), \ у) оператора Н -=^-<*|Р| у) =
(х[Н, Ц]у) = (Ех-Еу)(х\Ч\у). (2.35)
') Электромагнитные волны, предсказанные уравнениями Максвелла, были
получены Герцем с помощью осциллирующего электрического диполя. Примером
такого диполя мог бы служить заряд (- е), вращающийся вокруг заряда (+ е)
с заданной частотой v. Согласно гипотезе Максвелла, свет представляет
собой электромагнитные волны, а Селени искусными экспериментами доказал в
1913 г., что свет, испускаемый атомами, является ди-польным излучением.
[Высшие мультиполи соответствуют более сложному распределению заряда, для
которого дипольный момент 2гг<7г = 0 (см. ра-
i
боты Ми, Пуанкаре, Рэлея и т. д. о мультипольном разложении,
представляющие прикладную теорию групп).] Неприятность заключалась в том,
что классические атомы всегда должны излучать, быстро теряя свою энергию.
Квадрупольное излучение в атомах может наблюдаться в исключительных
случаях (редкоземельные элементы, атомы в межзвездном вакууме).
Интенсивное излучение фотонов может быть индуцировано и самим
электромагнитным полем. Примером служит лазер.
46 л. МИШЕЛЬ
Рассмотрим теперь собственные состояния оператора L2 [с собственными
значениями /(/+1)]. Заметим, что
<х | L| г/) = 0, если 1хф1у, (2.36)
тогда как для общего векторного оператора
(х IR i У) - 0, если 1хЛ-1у - 0 или \1х~1у\>\. (2*37)
Однако надо учесть и операцию четности П (г) = - г. Соответ-
ствующей оператор II удовлетворяет условиям
П2= 1, IIRII = -R, IIPII = - Р, (2.38)
и поскольку оператор L является аксиальным вектором,
ГИ,П = L. (2.39)
Собственные векторы оператора L2 имеют определенную четность (собственное
значение оператора П). Рассмотрев реализацию этих векторов сферическими
гармониками, находим
ПЬ2 = (-1)'1Л (2.40)
Таким образом, если состояния х и у имеют определенный момент количества
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed