Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
физиками и математиками, Этому вопросу посвящена прекрасная, хоть и
небольшая книга Гишарде [50] (см. также работу Дж. Макки [51]).
г) Вначале выражение "принцип соответствия" имело более ограниченный
смысл.
38
Л. МИШЕЛЬ
Если А и В удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и
величины Р и Q, то мы получаем
(Aa)xmx>±h. (2.8)
2.3. ЧАСТИЦА С МАССОЙ т В СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Пусть V (г) - сферически симметричный потенциал. Тогда гамильтониан
частицы имеет вид
Я = ^тр2+Е(г) (2.9)
и инвариантен относительно ортогональной группы О (3). В терминах разд.
1.3 Н, Р2 и V (г) - "скалярные операторы**,
Р, R и L = RXP-(полярный и аксиальный) векторные опе-
раторы. Если а, b и т. д. - векторы трехмерного векторного пространства
Е3 присоединенного представления группы 0(3), то перестановочные
соотношения (2.1) можно записать в виде
[Р (a), Q(b)] = (а, Ь) = гЙ(а, Ь)1. (2.10)
В этом соотношении р есть форма Киллинга-Картана" определенная уравнением
(1.11)1).
Из (2.10) и выражения L = RXP Для оператора момента количества движения,
полученного из принципа соответствия (см. конец разд. 1.5), находим
[L(a), L(b)] = ML(a A b). (2.11)
Это служит подтверждением того факта, что векторный оператор момента
количества движения является представлением (с точностью до множителя г)
алгебры Ли группы О (3), действующим в нашем гильбертовом пространстве.
Некоторые физики пишут P-а и Ln вместо Р (а) и L(n). Однако не
удивляйтесь, если во всех физических книгах вы увидите, что для
ортонормированного базиса Q(e(), Р(е{), L(ek) используются векторные
обозначения Q{, Pjt Lk и пр.
Операторы, которые соответствуют наблюдаемым, являющимся интегралами
движения, генерируют алгебру {Н}' - коммутант алгебры И. Следовательно,
уравнение, которое может быть выведено из уравнения (2.10) и определения
оператора L:
*) См. также приложение о перестановочных соотношениях в конце
этого раздела.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
39
а е ?3, [L(а), #] = 0, или символически [L, Я] = 0, (2.12)
означает, с одной стороны, что гамильтониан инвариантен относительно
вращений, а с другой стороны, что момент количества движения является
интегралом движения.
Оператор Казимира для группы О (3) (в нормировке, исполь-
з
зуемой физиками) имеет вид L2= 2 и> как хорошо известно,
(=1
его значения для неприводимых представлений группы SU (2) равны /(/-+- 1)
ft2, где 2/ - целое положительное число или нуль, а 2/+1-размерность
представления. Для НП группы SO (3) / принимает только целые значения.
Если вектор состояния является собственным вектором оператора L2 с
собственным значением / (/ -J- 1) Я2, то для краткости мы будем говорить,
что соответствующий момент количества движения равен jH.
Приложение, О перестановочных соотношениях
Профессор Баргман указал мне, что я рассматривал группу инвариантности
перестановочных соотношений только с точки зрения инвариантности
относительно вращений [см. уравнение (2.10)]. Несомненно следует
рассмотреть и общий случай, когда перестановочные соотношения имеют вид
[Ри Q/] = - itibijl (г, / = 1, • • •. п). (2.10а)
Пусть а = (а{ ... ап), b = {bx ... bn)^Rn и мы используем следующие
обозначения для тензорных операторов: Р (а) = 2 й{Р{>
i
Q(6) = 2fr/Q/- Уравнение (2.10а) определяет (2п -f 1) /-мерную
алгебру Ли, которая является центральным неабелевым расширением алгебры g
пространства R2n при помощи алгебры R1 (центра алгебры g). Это расширение
определяется антисимметричной билинейной формой на R2n = Rn ф Rn:
a(a(r)b, a'(r)b') = a-b' - b ¦ a', (2.106)
где a • 6=2 aibi. Группой автоморфизмов алгебры g является
i
симплектическая группа Sp(n), оставляющая эту форму инвариантной.
Соответствующая односвязная группа G имеет с точностью до эквивалентности
единственное унитарное НП (теорема фон Неймана). Шредингеровская
реализация этого представления - это реализация операторами на
пространстве З?2 функций п
40
Л. МИШЕЛЬ
переменных: х = (х\ ... хп), Ua = eip{a\ (U J) (х) = f (х + а),
Vb = eiC>{b\ (Vbf) (х) = eihb-xf{x). Здесь х, ск^&п, Ь^Ж'п - пространство
дуальное к <§п. В случае уравнения (2.10) п== 3. Кроме того, группа
вращений SO (3) оставляет инвариантной симметричную линейную форму Р на
d?3 и мы используем соответствующую идентификацию пространства и
дуального к нему пространства.
2.4. АТОМ ВОДОРОДА
Рассмотрим две частицы с массами т, и т2 и электрическими зарядами Ze и
(-е) (Z - положительное целое число). Полный гамильтониан такой системы
имеет вид
2 2 7 2
Pi . Р2 ^е
(2.13)
полн 2/rti 2т2 где г = | г |, г = г2 - г,.
Введем в качестве новых переменных вместо г, и г2 координаты центра масс
r0 = (mir! -f m2r2)(ml -f m2)_J (2.14)
и r = r2 - п; пусть po и p - сопряженные им величины. Тогда
>о ' "2
2 (mi + т2)
где
Pn ( Р Ze\
^полн = 9 j. тЛ + у"2^ -J = hcm-\-h, (2.15)
т = тхт.2{т.\-\- т^} \ (2.15а)
Движение центра масс описывается оператором hcm, a h соответствует
внутренней энергии системы. Поэтому в квантовом случае для определения
