Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
где ик - размерность НП [ ]ч группы U (k), sK - размерность НП [ ]л
группы 5 (п).
Эта теорема является лейтмотивом книги Вейля, цитированной во введении, и
неявно подразумевается в двух других книгах. Если п > k, то НП группы U
(k) соответствуют лишь те разбиения числа п, для которых т- е- схемы
Юнга
для НП группы U (k) могут иметь произвольное число клеток, но число строк
не должно превышать k. При этом я=1, ? соответствует ^-мерному
(фундаментальному) представлению группы U (k), а я = 0 - тривиальному
(одномерному) представлению. Например, представление группы U (2)
задается разбиением [Я1( Я2], где и Я2- целые числа и Ai^A2^0.
Представление, контраградиентное представлению [я"'], имеет
вид Я"'] , где 2аг <&, а[ = k - 2 а,, а/=аА+2-/,
К'. = К. - ЯА+1_., /, у > 1. Короче говоря, схема Юнга [я"г],
будучи перевернута, дополняет схему [я"г] до прямоугольника из k строк по
Я, клеток.
Представления группы SU (л). При ограничении НП группы U (k) на подгруппу
SU (k) получается НП группы SU (k). При этом те НП группы U (k), схемы
Юнга которых отличаются слева лишь на прямоугольный блок из столбцов
длины k, дают при ограничении эквивалентные НП группы SU (k). С учетом
этого замечания можно однозначно задавать НП группы SU (k) схемами Юнга.
При этом мы получаем все неэквивалентные НП группы SU (k).
Пример. Класс эквивалентности НП группы SU (2), получающийся при
ограничении НП [Я], Я2] группы U (2), задается значением целого числа
(Я!-Я2). Таким образом, его схема Юнга может быть представлена в виде
горизонтальной строки
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
25
из (Я, - Л2) клеток. Для НП группы SU(2) обычно используется символ
D, с j = (1.16)
где / называется спином представления. Размерность этого представления
равна 2/+1. Оператор Казимира для этого представления при выборе
нормировки, используемой физиками, имеет вид /(/+ 1)/ и равен удвоенному
оператору, определенному уравнением (1.9). (Это связано с тем, что физики
выбирают в качестве формы Киллинга-Картана */г Sp [Д(а) D (й)].)
Напомним также известное разложение
Я/,(r)Я/,-= ф" Dr (1.17)
/=| /1-/г|
Заметим, что все представления группы SU (2) контраградиентны сами себе.
Представления присоединенной группы SV (n)/Z". Центром группы SU (k)
является Zk - циклическая группа k элементов, так что присоединенной
группой группы SU (k) является группа SU(k)IZk. Представлениями этой
группы являются те представления группы SU (k), схемы Юнга которых
содержат число клеток, кратное k. Например, группа SU (2)/Z2 = SO (3), а
ее представления - это с целыми значениями /. Соответствующие схемы Юнга
содержат только одну строку из четного числа (2/) клеток.
Присоединенное представление группы SU (п) или ее присоединенная группа -
это представление, действующее в пространстве ее алгебры Ли. Оно имеет
размерность ti2 - 1, задается разбиением [2, 1П~2] и эквивалентно
контраградиентному представлению.
Замечание относительно произвольной группы. Пусть Ж(1) есть пространство
линейного унитарного представления (оно может быть приводимым и dim Ж(1)
может равняться бесконечности) для произвольной группы. Как мы видели, на
пространстве Ж{п) = (r) действуют группы 5 (п) и G. Подпространства
Ж^примарных представлений группы S(n), вообще говоря, не являются
подпространствами примарных представлений группы G. Физикам было бы
интересно познакомиться с методами выяснения природы G-представлений,
действующих в различных пространствах особенно в некоторых слу-
26
Л. МИШЕЛЬ
чаях, например для (бозоны) и ^fnj (фермионы). В качестве примера
приведем результат, доказанный О. Бором [41].
Пусть G = SO(3), Ж(1)-пятимерное гильбертово пространство представления
D2. Для любого п представление группы
П
SO (3), действующее в пространстве Ж\п\ = V ^(1). при разложении в прямую
сумму НП не содержит представления Dt. (Физически ядро со спином 0 в
основном состоянии не имеет состояний со спином 1, соответствующих
коллективным возбуждениям.)
Можно добавить к этому, что если НП группы G входит в Ж(п) только один
раз, то оно действует либо в пространстве <3ё[п}, либо в пространстве
Ж["п].
1.5. ЕЩЕ ОБ АЛГЕБРАХ И ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРАХ.
ПСЕВДОКОРНИ ГРУППЫ SU(n)
Алгебра на векторном пространстве 8-это элемент Horn (I?(r)#, 8). Алгебра
является симметрической (соответственно, антисимметрической), если она
представляет элемент Нот (8 V 8, 8) [соответственно, Нот (8 Л 8, 8)\.
Аналогично можно определить коалгебру, симметрическую и антисимметри-
ческую, как элементы Нот (8, 8 (r) 8), Нот (8, 8 V 8) и Нот (8, 8 Г\ 8).
Если 8 - пространство линейного представления группы G, то элементы Horn
(8 (r) S, 8)° (Нот (S, S (r) 8)°) - это алгебры (коалгебры), группы
автоморфизмов которых содержат группу G.
Если G - компактная полупростая группа Ли, то для выполнения условия dim
Нот (?\ 8 (r) 8)° > 0 необходимо, чтобы представление на 8 имело
невырожденный вес. Например, для пространства *3 присоединенного
