Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 7

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 81 >> Следующая

п-0
|Г(п) = |f (g> |f <g> ... <g) |f (n множителей), и т. д.
Пусть дана физическая система, а Ж- гильбертово пространство ее векторов
состояний. Предположим, что Ш есть G-векторное пространство. Тогда таким
же является и 3! (Ж). Мы приходим к изучению объектов (категории G-
векторных пространств) из рассмотренного выше пространства 3 (Ж). В
физической литературе они называются "тензорными операторами на Ж".
(Заметное исключение в терминологии представляет книга У. Фано и Дж. Рака
[36], посвященная этому вопросу.) По определению ^-тензорный оператор в
физическом смысле слова есть G-морфизм (или сплетающий оператор) из If; в
3 (Ж). Если представление группы G, действующее в пространстве If;,
неприводимо, то соответствующий G-морфизм называется в физике
"неприводимым тензорным оператором". Если G действует на <§\ тривиально,
то мы имеем "скалярный тензорный оператор" ').
Настало время специализировать поле К. Вообще говоря, это, конечно, поле
комплексных чисел, так как Ж-комплексное гильбертово пространство. Однако
вещественность также встречается в физике. Так, например, часто <$ - это
вещественное векторное пространство, а "If-тензорный оператор" - это G-ro
моморфизм Т из вещественного векторного пространства ($ в вещественное
векторное пространство самосопряженных операторов на Ж. Разумеется,
всегда можно затем расширить поле от R до С.
Если G - группа Ли, то мы рассматриваем, конечно, только непрерывные
дифференцируемые представления, так что G-векторное пространство является
также g-модулем для алгебры Ли g группы G. Мы обозначим через ^ векторное
пространство алгебры g. Среди ^-тензорных операторов на 3 (Ж) существует
один особый оператор F', который можно рассматривать также как
представление алгебры Ли g на Ж. Если представление группы G на Ж
унитарно, то оператор, F = iF' имеет в качестве образа самосопряженные
операторы удов-
') Термин "скаляр" часто используется физиками вместо термина
"инвариант".
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
19
летворяющие соотношениям
[Е(а), F(b)] = (F(a)F(b)-F(b)F(a)) = iF(aA b). (1.6)
Если G является группой вращений, пространственных смещений, временных
смещений и т. д., то F соответственно определяет наблюдаемые: момент
количества движения, импульс, энергию и т. д. Величины из разд. 1.1,
которые мы назвали там наблюдаемыми, являются элементами образа F, т. е.,
например, компонентой момента количества движения или импульса в данном
направлении. Я надеюсь, теперь ясно, что G-морфизмы на 2? (Ж)
соответствуют физическим величинам тензорного характера относительно
группы G (другие примеры: скорость, магнитный момент, электрический
квадрупольный момент, тензор энергии - импульса, тензор моментов инерции
и т. д.).
Пусть R и U (унитарное) суть представления группы G на S' и Ж
соответственно. По определению "^-тензорного оператора Т,
VgeG, U(g)T(x)U~l(g) = T(R(g)x). (1.7)
Если D и F'- IF - соответствующие представления алгебры Ли
D{a) = ~R{e^)\a=0, iF = -^U{e(tm)) |a=0, (1-8)
то эквивалентное определение "^-тензорного оператора Т имеет вид
Vxe#, Vaeg, [F (a), Т (х)] = iT (D (а) х). (1.9)
Короче говоря, чаще всего применение теории групп в квантовой физике
сводится к изучению "тензорных операторов" на G-векторном (гильбертовом-)
пространстве Ж физической системы. Они образуют кольцо ') (и алгебру).
Пусть Ту и Т2 - соответственно Жу~ и <!?2-тензорные операторы на Ж, тогда
Ж у 0<!f2 э х(r) у -> Ту (х) + Т2 (у) определяет "^(c)"^-тензорный оператор;
Ж у (r) <!f2 э х (r) у-* Ту (х) Т2(у) определяет Ж у (r) <^2-тензорный
оператор.
Эти операторы мы обозначим соответственно через ТуфТ2 и Ту (r) Т2.
Последний, вообще говоря, приводим и может быть
') В случае бесконечномерного 36 операторы Т (х) не ограничены, так что
их произведение не всегда хорошо определено. Я не буду заострять здесь
внимание на этой трудности, которая относится и ко всей квантовой
механике. Этот вопрос рассмотрен в лекциях О'Рейферти [37].
20
Л. МИШЕЛЬ
разложен в прямую сумму неприводимых "тензорных операторов".
Существует, наверное, много проблем, систематически еще не изученных
физиками, хотя работе с этим кольцом (для фиксированных G, Ж и действия G
на Ж) они и отдали очень много сил.
Например, если группа G-простая, Т есть ^-тензорный оператор и Ух, г/е^,
[Т(х),Т(у)] = 0, то, я думаю, отсюда следует, что dim Horn (JF, Ж)а = оо
').
Конечно, подалгебра, порожденная одним элементом, хорошо известна: для
данного ^-тензорного оператора Т существует функториальный G-морфизм Т из
тензорной алгебры <7* (S') на S' в 3? (Ж), который, кроме того, является
гомоморфизмом алгебры. Если / есть каноническое вложение S в ?Г (S) (Im i
= = S'(I)), то диаграмма 2 коммутативна
Г(Х)
Диаграмма 2.
В частном случае, когда Т является представлением F (с точностью до
множителя / [см. уравнение (1.6)]) алгебры g на Ж, оно оказывается также
представлением Щ (8?)-представлением универсальной накрывающей алгебры g.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed