Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
была доказана Эмхом и Пироном [34].
2) См. работу Баргмана [32]: для любой тройки векторов | х), \ у), \ г)
величина (х \ у) (у \ г) (г \ х) инвариантна относительно унитарного
преобразования U и переходит в комплексно-сопряженную величину при
антиуни-тарном преобразовании V.
(1.5а)
(1.56)
G -Aut Ult
16
Л. МИШЕЛЬ
Можно сказать также, что группа G+ действует как линейное унитарное
проективное представление, и для действия G (когда G строго содержит G+)
Вигнер предложил новый термин "проективное копредставление". Как показал
Вигнер, из физических соображений следует, что для преобразований,
которые меняют направление времени, должны использоваться антиунитарные
операторы. Это необходимо для того, чтобы энергия была положительной: в
самом деле, сдвиг по времени на величину t представляется оператором
е~ин\ если t-+ - t, то величина i должна переходить в -i, чтобы как Я,
так и е~ин оставались инвариантными.
Непрерывные проективные линейные унитарные представления конечных групп и
групп Ли хорошо известны. Например, для трехмерной группы вращений-группы
50(3, Я) - эти проективные представления находятся во взаимно однозначном
соответствии с "линейными неприводимыми унитарными представлениями" (в
дальнейшем в данных лекциях для этого термина будет использовано
сокращение НП) группы SU (2) - группы, которая является универсальной
накрывающей для 50 (3, R). Отсюда следует необходимость введения спиноров
в квантовую физику.
В гл. 4 мы будем изучать инвариантность относительно групп
преобразований, связанных с нерелятивистской (ньютоновской) механикой и
специальной теорией относительности'). В физике, однако, рассматриваются
и другие группы инвариантности, например группа 5 (п) - группа
перестановок п тождественных частиц (п электронов в атоме). В ядерной
физике и физике фундаментальных частиц мы встречаемся со многими
"приближенными инвариантностями". Соответствующей группой инвариантности
в большинстве случаев является группа U (п) или SU (п) [группа унитарных
лХя_матриц с определителем, равным единице в случае SU (я)], причем п =
1, 2, 3, 4, 6.
Термин "приближенная симметрия" требует некоторого разъяснения. Пусть мы,
например, изучаем инвариантность относительно группы G, где G - группа
симметрии динамической системы, например группа симметрии кристалла (одна
из кристаллографических групп). Этот пример затрагивает деликатный вопрос
о групповой инвариантности в физике. Взаимодействие между атомами,
несомненно, является трансляционно-инвариантным (и, быть может,
инвариантно относительно большей группы преобразований). Почему же тогда
*) При переводе эта глава опущена.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
17
атомы образуют кристалл, решетка которого инвариантна только относительно
подгруппы группы трансляций? При возникновении такого явления, т. е.
когда стабильное состояние имеет меньшую симметрию, чем симметрия
физических законов, мы будем говорить, что имеем дело с нарушенной
симметрией ').
Перейдем теперь к обсуждению математического аппарата, который мы часто
будем использовать.
1.3. G-ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть G-данная группа. Если вам так больше нравится, можно сказать, что
мы рассматриваем категорию, объектами которой являются векторные
пространства <8 (над данным полем К) с линейным действием группы G на <8
[т. е. G э х -> -> g {х) е S? (S'), где 3 (<8)- алгебра эндоморфизмов
пространства 18, причем ху -"• g(x) g(y) - g(xy)]. Морфизмами этой
категории являются гомоморфизмы векторных пространств 8-+ 8', совместимые
с действием группы, т. е. для каждого ieG соответствующая диаграмма для
гомоморфизмов векторных пространств является коммутативной. Мы назовем
эти морфизмы G-гомоморфизмами G-векторных пространств.
9(х)
Диаграмма 1.
Конечно, можно было бы сказать, что мы изучаем бимодули (G- и К-модули),
или еще проще, что мы интересуемся линейными представлениями группы G.
При этом G-гомоморфизмы называют также "сплетающими" операторами.
Заметим, что G-морфизмы из 8j в <82 образуют векторное пространство,
которое мы обозначим через Нот {8и 82)°. В самом деле, это пространство
является подпространством инвариантных векторов пространства Нош (81,82),
а инвариантные векторы являются "сплетающими" операторами для
представлений группы G, действующих в пространствах 8t и 82.
¦) Этот небольшой раздел по групповой инвариантности носит чересчур
эскизный характер. Значительно больше следовало бы сказать о симметрии
физических законов (см., например, работу Вигнера [35]). Без этой
симметрии не существовало бы рассматриваемой нами симметрии состояний.
Конечно, многие из этих вопросов еще будут рассмотрены в данных лекциях.
18
Л. МИШЕЛЬ
Пусть даны G-векторные пространства <?\, <8г, .... Тогда все векторные
пространства, которые могут быть образованы из них, также являются G-
векторными пространствами, например: (r) S2, Ногп^ь 3*2), & (S') = Нот
(S', S'), векторное про-
странство тензорной алгебры на <$ : Т (&) = (r)<§Г(П), где |f(0' = /e,
