Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 13

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 81 >> Следующая

пространства аналитических функций.
2. Атомная и молекулярная физика
2.1. ТЕОРИЯ ГРУПП И АТОМНАЯ ФИЗИКА
Приведем типичный пример применения теории групп в атомной физике. Только
четная часть / (г) = ]/2 (/ (г) + f (-г)) функции /(г) [соответственно,
симметричная часть /+(г,, г2) = = */г (/ (Го г2)+/(г2, г,)) функции /
(г,, г2)] дает вклад в интеграл по всему пространству J / (г) d3г
(соответственно, J / (гь r2) X
X d3ti d3г2). Этим объясняются два эмпирических факта (известных еще до
1926 г.): правило отбора Лапорта для атомных спектров и разбиение спектра
гелия на два независимых подмножества (соответствующих ортогелию и
парагелию). Конечно, эти примеры относятся к самым простым, поскольку оба
они основаны на инвариантности относительно группы (Z2), состоящей из
двух элементов. В дальнейшем мы будем использовать инвариантность
относительно групп SO(3), S(n) и 0(2) для атомов и относительно подгрупп
группы SO (3) для молекул.
2.2. ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ
Мы имеем уже общее описание квантовой механики, теперь нам нужно понять,
как изучить данную физическую систему. По-видимому, не существует
аксиоматической формулировки этой проблемы, так что в данном случае
физика еще находится на грани искусства! Однако если рассматриваемая
система имеет конечное число степеней свободы и может быть описана с
помощью классической гамильтоновой механики, то "принцип соответствия"
покажет нам, как можно описать эту систему в квантовом случае.
Пусть h (pk, qi) есть классический гамильтониан системы. Тогда уравнения
Гамильтона имеют вид
dpk . dh ш dh
-зг~Рк = -Щ' 7*
36
Л. МИШЕЛЬ
В квантовой механике соответствующие наблюдаемые Pk, Qt образуют
абстрактную алгебру с единицей
PkQi - QtPk = [Pk, Q*] = - ihbkl\,
[Pk, Pi] = 0 = [Qk, Q/], (2A}
где 2лй - постоянная Планка.
В рассматриваемых нами случаях h = h'^-h", где h' является функцией pk, a
h" - функцией qt. Поэтому Н = Н' + Н", где Н' и Н" - некоторые функции Pk
и Q* соответственно. Заметим, что до сих пор не существует синтетической
формулировки квантовой механики, подобной формулировке классической
механики в терминах симплектических многообразий (исключение составляют
работы Костанта [45] и Сурьо [46]) ')¦ Мы знаем также, что соотношение
между классической и квантовой трактовкой одной и той же проблемы не
является простым (см., например, работу ван Хова [48] о сравнении групп
автоморфизмов в этих двух случаях).
Оператор Гамильтона является генератором сдвигов во времени, так что
[Н, Qk\ = itiQk, [Н, Pt\ = ihPt. (2.2)
Представление алгебры, определенной уравнениями (2.1) и (2.2), получено
независимо от Гейзенберга Шредингером, использовавшим понятие волны де
Бройля. В самом деле, алгебра (2.1) может быть реализована
самосопряженными операторами пространства 3 {Ж), где Ж - гильбертово
пространство квадратично интегрируемых функций ф(<7г). При этом
<2аФ = <7аФ, pity = ~j Ф- (2.3)
Величина ф также является функцией времени t, и уравнение Шредингера
принимает вид
Яф = гй-^-ф, (2.4)
При анализе рассмотренного выше представления возникают некоторые
затруднения. С другой стороны, из теоремы фон Неймана [49] следует, что
все неприводимые представления
*) См. также книгу Кириллова [47]. - Прим. перев.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
37
алгебры, определенной уравнением (2.1), эквивалентны, еслие/р*, etQi
реализованы унитарными операторами •).
Открытие квантовой механики принадлежит также и Дираку, давшему очень
четкую формулировку "принципа соответствия"2). В классической
гамильтоновой механике существует алгебра Ли скобок Пуассона (СП). Пусть
/ и g- две функции переменных pk и qt, тогда
СП<?.Й = 2(^-^)- (2-5)
Алгебра Ли соответствующих квантовых наблюдаемых имеет вид
[Г, G] = ih • квантовая наблюдаемая СП (/, g). (2.5а)
Как известно, величина \ty\2I7dqk, где ф- решение уравнения Шредингера
(2.4), представляет собой плотность вероятности найти систему с
координатами {qk}. Это, конечно, очень привлекательно для физиков. Вам,
как математикам, разумеется, приятнее работать с абстрактной алгеброй.
Чтобы коротко, но наглядно продемонстрировать использование этой алгебры,
докажем соотношения неопределенностей Гейзенберга.
Пусть А и В - самосопряженные операторы, соответствующие наблюдаемым а,
Ь. Мы уже видели, что если | х) есть данное состояние изучаемой нами
физической системы, то (х\А\х) есть среднее значение величины а в
состоянии | х), а дисперсия этой величины в состоянии | х) дается
формулой
(Да)* = I (х | (А - (х | А | х"21 х) |v* = I (х \ А21 х) |Vj = || Ах ||,
(2.6)
где
А = А-\{х\А\х). (2.6а)
Но в силу неравенства Шварца
(Аа)хтх = \\Ах\\-\\Вх\Ш(Ах, Вх) \ > у | (х\[А, В] \ х) |. (2.7)
') Для систем с бесконечным числом степеней свободы, с которыми мы
встречаемся в статистической механике и теории поля, это далеко не так.
Впервые бесконечное число НП соотношений (2.1) было найдено Фридрих-сом,
а затем ван Ховом, Гордингом и Уайтманом, Сигалом и некоторыми другими
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed