Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
Самосопряженный оператор R положительно определен, поскольку ct ^0, и
называется матрицей плотности1) смешанного состояния (состояния, не
являющегося чистым) системы. При этом множество всех состояний образует
выпуклую область, а чистые состояния являются крайними точками этой
области.
Естественное обобщение этой конструкции заключается в следующем.
Определим банахову алгебру % с единицей I, генерируемую наблюдаемыми2)
(обычно это - С*-алгебра).
1) Матрицу плотности ввел фон Нейман в 1927 г. в статьях, цитированных
выше. (Несколько ранее матрица плотности была введена в работе Л. Д.
Ландау [28]. - Прим. перев.)
2) Еще на заре развития квантовой механики физики рассмотрели также
неассоциативные алгебры, образованные наблюдаемыми, и ввели иордановы
алгебры. Первой фундаментальной работой по этим алгебрам является статья
П. Иордана, Дж. фон Неймана и Е. Вигнера "Об алгебраическом обобщении
квантовомеханического формализма" [29].
14
Л МИШЕЛЬ
Тогда состояние описывается линейным положительным функционалом ф на 38,
т. е. ф(А*А)^0. Для системы с конечным числом степеней свободы тдкое
обобщение не очень существенно. Однако оно становится существенным для
случая бесконечного числа степеней свободы как в квантовой теории поля,
так и в статистической механике. Классическая статистическая механика
может быть построена по тому же математическому шаблону, причем в этом
случае алгебра является абелевой ')•
1.2. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Мы будем считать, что для каждой рассматриваемой здесь физической теории
существует "группа относительности" G. Это значит, что G действует на
физической системе 5 и существует изоморфизм между физикой системы 5
(гильбертовым пространством Ж состояний S, алгеброй наблюдаемых {Ж)2) и
т. д.) и физикой преобразований g (5) - преобразований 5 при помощи
элемента geG (g может быть, например, вращением). Это "активная" точка
зрения на G-инвариантность. С "пассивной" точки зрения группа
преобразований устанавливает изоморфизм между физическим описанием одной
и той же системы двумя наблюдателями, использующими разные системы
координат, причем эти системы связаны преобразованием группы G.
Обозначим через РвХ{ (для любого geG) состояние, получающееся после
соответствующего преобразования из состояния Рх.. Мы назовем группу G -
группой инвариантности, если все вероятности в уравнении (1.2)
инвариантны
У\х)^.Ж, Vg^G, SpPgXlPgx2=SpPXlPXl, (1.4)
¦) Еще двадцать лет тому назад Сигал настаивал на использовании С*-алгебр
в квантовой физике. Ценность такого подхода (физическое приближение и е-
эквивалентность Фельда, введение правил суперотбора) показана в
фундаментальной статье Хаага и Кастлера "Алгебраический подход к
квантовой теории поля" [30]. Большая часть работ по использованию С*-
алгебр в физике написана в строгом математическом стиле и опубликована в
журнале "Communications in Mathematical Physics". По статистической
механике см. книгу Д. Рюэлля "Статистическая механика" [31].
2) Через ? (Л) обозначено пространство линейных операторов, действующих в
пространстве Л.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
15
или
I (gx, |gx2) |2 = | (х{ \Х2) I2.
(1.4а)
Это значит, что группа G действует на Ж изометрично.
В своей книге по теории групп Вигнер [12] доказал (см. приложение к гл.
20)1), что отображение | х) ] gx) является либо унитарным оператором
U(g), либо антиунитарным оператором V (g) на Ж. Напомним, что
антиунитарный оператор V обладает следующими характеристическими
свойствами:
I х), | у) е Ж, Г (а |х) р| у)) = aV\х) pF| у), (1.5)
Если дана изометрия на пространстве Ж, то существует простой критерий2)
для решения вопроса, реализуется ли она унитарным U или антиунитарным V
оператором. В том и другом случае операторы U и V определены с точностью
до фазового множителя. При этом произведение двух антиунитарных
операторов является унитарным оператором.
Пусть У (Ж) - группа как унитарных, так и антиунитарных операторов на Ж,
а °11(Ж) - подгруппа унитарных операторов.
Группа °И(Ж) является подгруппой индекса 2 группы У {Ж), и потому 41 (Ж)
- инвариантная подгруппа группы У (Ж). Мы предположим, что G действует на
Ж эффективно, т. е. единственным элементом, действующим на Ж тривиально,
является 1 е G. Преобразования °ll{g) [или У (g)] для geG генерируют
подгруппу <% (G) группы У (Ж), которая является расширением группы G при
помощи группы иг (умножение векторов в пространстве Ж на фазовый
множитель; состояние при этом остается неизменным), т. е.
где ядро отображения Кег / является инвариантной подгруппой G+ cz G
индекса 2, которая действует как группа унитарных преобразований, а
нетривиальный элемент образд отображения 1т/ - это комплексное сопряжение
a->d = a'le(/i,
') Более прямое доказательство теоремы Вигнера было дано Баргма-ном [32].
Доказательства некоторых обобщений теоремы можно найти в работе Ульхорна
[33]. В рамках аксиоматики Биркгофа и фон Неймана эквивалентная теорема
