Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
природу. Эта энергия, реализованная в химической форме, будет иметь
порядок величины
ЛХ 1 эВ = 23 кал/моль,
что составляет около 10~9-10-11 от энергии покоя. Если бы энергия,
получаемая нами от Солнца, являлась результатом химических реакций, то
Солнце давало бы нам ее менее чем 105 лет!
Известны еще два других вида взаимодействия. Это ядерное взаимодействие
(см. гл. 3 и 5), более сильное, чем электро-
-13
магнитное, на расстоянии менее 10 см, и "слабое взаимодействие", или
взаимодействие Ферми (см. разд. 3.6 и гл. 5), действующее на очень малых
расстояниях. Оба взаимодействия важны при изучении звезд и ядерных
реакций, и связанные с ними энергии могут достигать 10~3 энергии покоя.
Для цитат елей-физиков
Все используемые здесь математические термины даются без определений.
Безусловно, многие из них физикам известны (например, о понятии корневых
векторов алгебры Ли см. лекции [15-18]). Некоторые термины (в основном
использованные в гл. 1) заимствованы из словаря современной математики.
Они не были абсолютно необходимы и использовались просто как синонимы
других терминов, которые обычно применяют в физике. Физикам необходимо
знать определенные математические термины.
Прекрасный и в то же время элементарный обзор современного
математического языка дан в книге С. Мак-Лэйна и Дж. Биркхофа [19],
особенно в гл. 1 (отметим также список обозначений), и книге Ленга [20].
1) Гравитационная энергия системы увеличивается, грубо говоря,
пропорционально квадрату числа нуклонов N, в то время как в нейтральном
веществе электростатическая энергия примерно пропорциональна N. Таким
образом, гравитация становится важной только для таких больших масс, как
астероиды, планеты (мы на Земле знаем это!) или звезды. Не случайно
большая часть звезд имеет число нуклонов ~ (а')-^= 1057.
1. Ковариантность в квантовой теории и математические методы ее
описания
1.1. ЧТО ТАКОЕ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА?
Не прошло и двух лет после выхода цитированной выше первой статьи
Гейзенберга по квантовой механике, как на этот вопрос был дан ответ в
трех следующих друг за другом статьях фон Неймана [21]. На базе этих
статей была написана книга "Математические основы квантовой механики"
[22] ').
Две из первых книг физиков по квантовой механике переизданы, и я
настоятельно советую их прочесть. Это книги Дирака "Принципы квантовой
механики" [24] и Паули "Общие принципы волновой механики" [25]2).
Если вы их не читали, то еще не поздно это сделать. Сейчас же мы приведем
лишь минимум сведений из квантовой механики.
а) Каждой физической системе соответствует комплексное сепарабельное
гильбертово пространство Ш. При этом физическое состояние представляется
вектором | х) е Ж, нормированным для удобства на единицу: (х|х)=1.
б) Каждой физической наблюдаемой а (например, энергии, электрическому
заряду и т. д.) соответствует самосопряженный оператор А в пространстве
Ж. Спектр А совпадает с множеством возможных значений величины а.
в) Квантовая механика, вообще говоря, не предсказывает определенного
значения величины а в состоянии | х). Она дает лишь математическое
ожидание этой величины
(х [А\х)= Sp АРХ, (1.1)
где Рх - эрмитов оператор проектирования (Р* = Рх) на одномерное
пространство, натянутое на вектор | х). Заметим, что единичные
собственные векторы оператора Рх (с собственным
') Позднее совместно с Дж. Биркгофом он опубликовал статью "Логика
квантовой механики" [23]. Эта статья до сих пор не утратила своего
значения.
2) Имеются также книги математиков: Г. Макки "Лекции по математическим
основам квантовой механики" [26]; Л. Шварц "Применение обобщенных функций
к изучению элементарных частиц в релятивистской квантовой механике" [27].
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
13
значением 1) отличаются друг от друга лишь скалярным фазовым множителем.
Все они приводят к одинаковым физическим предсказаниям и, следовательно,
описывают одно и то же состояние.
Операторы Рх сами являются наблюдаемыми. В самом деле, величина
SpPxPy = \(x\y)? (1.2)
есть вероятность нахождения физической системы в срстоя-нии | х) (или |
у)), если известно, что эта система находится в состоянии | у) (или |
х)). Искусство физика, занимающегося квантовой теорией, и заключается
частично в том, чтобы закодировать наблюдаемые им явления векторами
гильбертова пространства. При этом всегда приходится использовать
"физические приближения".
В тех случаях, когда состояние можно описать с помощью проектора ранга
один (или, что то же самое, с помощью вектора, определенного с точностью
до фазового множителя), мы говорим, что имеем чистое состояние и полную
информацию о нем.
Обычно же известна лишь частичная информация о состоянии. В простейшем
случае мы знаем только набор вероятностей с{ нахождения системы в
ортогональных друг другу чистых состояниях PiiPiP^btjPj), так что
математическое ожидание величины а имеет вид
Есг Sp APt = Sp AR, (1.3)
где
R=IiCiPt, Sptf=2ci=l. (1.3a)
